Auteur: Peter Ypma

In de vorige les hebben we binaire getallen geleerd. In deze les gaan we die toepassen om teksten te versleutelen die geheel veilig is, zolang je een lang genoeg wachtwoord van tevoren hebt afgesproken (wat je moet doen als je dit niet van tevoren hebt kunnen afspreken leren we komende lessen).

Schakelaar

Veel lampen werken met een schakelaar met een knop waarmee je de lamp aan of uit kunt zetten. Het elektrisch schema ziet er dan uit zoals in het plaatje hieronder.

Er zijn ook lampen die je met twee knoppen aan en uit kunt zetten. Dit noem je een hotelschakelaar. Bij veel huizen kan dit bijvoorbeeld met het ganglicht op de eerste verdieping. Er zit dan een knop op de begane grond en één op de eerste verdieping.

Opdracht 1:
a) Teken hoe het elektrisch schema van een hotelschakelaar eruit ziet.

Uitwerking:

De schakelaar ziet er zo uit:

In het schema hierboven zien we dat er alleen energie loopt als beide schakelingen op 0 staat of beide schakelingen op 1. Als 0 staat voor “licht aan” en 1 voor “licht uit” krijgen we dus de samenvoegingen die hieronder te zien zijn. Als symbool voor het op deze manier samenvoegen van twee getallen gebruiken we (spreek uit: X-OR).

Bij versleutelingen gaan we dezelfde operatie gebruiken die we XOR noemen. Hierbij doen we de optelling componentsgewijs. Dat betekent dat we het eerste cijfer van het eerste getal XOR eerste cijfer van tweede getal en hetzelfde met de tweede cijfers, derde cijfers, enzovoort. Merk op dat dit alleen kan als de getallen evenveel cijfers hebben.

Opdracht 2:
a) Bereken .
b) Bereken

Vaak zullen we in praktijk ook de -operator tussen twee getallen van andere talstelsels dan binaire getallen zetten. In dat geval zet je de getallen eerst om naar binaire getallen, doe je dan XOR en zet je de getallen dan weer terug naar de getallen van het talstelsel van de oorspronkelijke getallen. Als de binaire getallen niet even lang zijn, zet je nullen voor het kortste binaire getal totdat ze wel even lang zijn.

Opdracht 3:
a) Bereken .
b) Bereken .

Er gebeurt iets bijzonders als je uitrekent.

Opdracht 4:
a) Bereken .
b) Wat is de uitkomst van ? Leg uit waarom dat altijd zo is.
c) Denk na waarom dit handig is voor het versleutelen van berichten.

In de vorige les hebben we gezien dat het niet veilig is om iedere letter op dezelfde manier te versleutelen. We hebben dus een manier nodig hoe we letters op verschillende manieren kunnen versleutelen. In les 9 gaan we een van de belangrijke manieren hiervoor leren. Deze techniek maakt gebruik van het feit dat de computer letters en getallen opslaat als een binair getal. Daarom zullen we in deze les eerst uitgebreider naar binaire getallen kijken.

Getallenstelsels

Ik wil deze les starten met een antwoord van de Engelse onderzoekster Becky Allen op de vraag wat haar favoriete getal is:

I’m going to pick the number 10. 10 is the number that separates my youngest child who is four from my eldest who is eight, and it divides my oldest from me. You see, my youngest knows the number 10. He knows it is the one that comes after 9 and before 11. He can show it on his hands. But my oldest understands how special 10 is in our number system. She knows the 10ness of 10 and I think it is one of the most transformational things that happens around year 1 (groep 3) in the math curriculum. So, she thinks 10 is a really special number, however I know 10 is not intrinsically special and it is us as humans that have made it so.

Als je op het eind van deze les op de manier van Becky naar het getal 10 kijkt, is deze les geslaagd!

De reden dat 10 zo bijzonder voor ons voelt, is omdat wij rekenen in het decimale talstelsel (in simpeler Nederlands: tientallig stelsel). Dit betekent dat we 10 verschillende cijfers (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9) hebben en dat we met de positie waarop deze cijfers staan, kunnen aangeven hoeveel we van iedere macht van 10 hebben. Zo betekent 3428 eigenlijk .

Er zijn volkeren geweest die vroeger met andere talstelsels gewerkt hebben, zoals een 12, 20 of 60-tallig stelsel.

Opdracht 1:
Aan wat voor dingen kun je nu nog zien dat er vroeger andere talstelsels gebruikt zijn?

Opdracht 2:
De volgende getallen staan in het achttallig stelsel. Schrijf ze om naar het decimaal stelsel.
a) 53
b) 213
c) 1067

Opdracht 3:
De volgende getallen staan in het decimaal stelsel. Schrijf ze om naar het achttallig stelsel.
a) 42
b) 67
c) 250

Als je een talstelsel gebruikt met meer dan 10 cijfers gebruiken we tegenwoordig vaak letters voor de volgende cijfers. Dus , , , enzovoort. In de tabel hieronder zie je de waarde van iedere letter.

Op die manier stelt iedere naam in het 36-tallig stelsel dus ook een getal voor die je kunt omrekenen naar onze normale getallen. Zo is het getal “AB” in het 36-tallig stelsel gelijk aan bij onze normale getallen. Dit, omdat de voor 10 staat en de voor 11 en we nu in plaats van tien 36 cijfers hebben (en dus moeten rekenen met machten van 36).

Opdracht 4:
a) Reken uit wat de naam “GIA” wordt als je die omzet van het 36-tallig stelsel naar het 10-tallig stelsel.
b) Schrijf een Python-programma dat een naam in het 36-tallig stelsel omzet naar het 10-tallig stelsel. Reken daarmee uit naar welk getal “VIVIENNE” wordt omgezet.

naam = "VIVIENNE"
getal = 0
for i in range(len(naam)):
    waardeletter = ord(naam[len(naam)-i-1]) - ord('A') + 10
    waardepositie = 36**i
    getal += waardeletter * waardepositie
print(getal)

naam = "VIVIENNE"
getal = 0
waarde = 36 ** (len(naam) - 1)
for letter in naam:
    getal += (ord(letter) - ord('A') + 10) * waarde
    waarde //= 36
print(getal)

Opdracht 5:
a) Ik heb ooit een T-shirt gekregen met het getal 42681699 erop (zie de afbeelding). De bedoeling van de gevers was dat dit getal omgezet moet worden naar het 36-tallig stelsel. Welke tekst staat er eigenlijk achterop mijn T-shirt?