Cirkels (Havo 5 wis B) – Pagina 7

Vierkant en halve cirkel

Het punt $A(-3, 3)$ ligt op lijn $l$ met vergelijking $y=-x$ en het punt $B(3,3)$ ligt op lijn $k$ met vergelijking $y=x$ .
Door de punten $A$ en $B$ gaat een halve cirkel met diameter $AB$ en middelpunt $M$ .
Voor vierkant $OPQR$ geldt:

$R$ ligt op $l$ en $P$ ligt op $k$ .
Zijde $PQ$ raakt de halve cirkel in het punt $K$ .

Zie de figuur.

Opdracht 18: (5 punten)
Bereken exact de coördinaten van $K$ .

Aanpak:

Standaard begin ik bij dit soort vragen altijd om de formule van de cirkel op te stellen. Die is $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$ , waarbij $(x_M,y_M)$ het middelpunt is en $r$ de straal is. Om deze formule op te stellen, hebben we dus eerst het middelpunt en de straal nodig. In dit geval krijgen we het middelpunt, omdat we weten dat $M$ precies tussen $A$ en $B$ ligt. De straal is dan de afstand $MB$ . Aangezien $MB$ een horizontaal lijnstuk is, berekenen we die door het $x$ -coördinaat rechts min het $x$ -coördinaat links te doen.

Bij veel raaklijnvragen moet je gebruiken dat in het raakpunt geldt dat de raaklijn en de straal loodrecht op elkaar staan. Hier kun je met deze stelling de formule van de lijn door $K$ en $M$ opstellen. We weten immers de richtingscoëfficiënt van de raaklijn (die is -1) en de richtingscoëfficiënt van $MK$ is dus $-1$ gedeeld door deze richtingscoëfficiënt. Vervolgens vullen we de coördinaten van $M$ in om het begingetal te berekenen.

Nu we de formule van $MK$ hebben, kunnen we deze in de formule van de cirkel substitueren om de coördinaten van het snijpunt te berekenen.

Uitwerking met snijpunt MK en cirkel:

$M(0,3)$ en $r=3$
De formule van de cirkel is dus $x^2+(y-3)^2=9$
$MK$ staat loodrecht op $PQ$ .
Dus $a_{MK}=\frac{-1}{-1}=1$
$\left.\begin{matrix}y=x+b\\M(0,3)\end{matrix}\right\} y=x+3$
$\left.\begin{matrix}x^2+(y-3)^2=9\\y=x+3\end{matrix}\right\} x^2+(x+3-3)^2=9$
$x^2+x^2=9$
$2x^2=9$
$x^2=4\frac{1}{2}$
$x=\sqrt{4\frac{1}{2}}$ (want $x=-\sqrt{4\frac{1}{2}}$ voldoet niet)
$\left.\begin{matrix}y=x+3\\ x=\sqrt{4\frac{1}{2}}\end{matrix}\right\} y=3+\sqrt{4\frac{1}{2}}$
Dus $K(\sqrt{4\frac{1}{2}}, 3+\sqrt{4\frac{1}{2}})$ .

Uitwerking met bijzondere rechthoekige driehoek:

$M(0,3)$ en $r=3$
$MK$ staat loodrecht op $PQ$ .
Dus $a_{MK}=\frac{-1}{-1}=1$ .
Dit betekent dat $MK$ een hoek van $45^{\circ}$ maakt met de lijn $MB$ .
Trek vanaf $K$ een lijn recht naar beneden naar $MB$ . Noem het snijpunt met $MB$ punt $S$ . Dan is $MSK$ een 45-45-90-driehoek met schuine zijde $3$ (de straal).
De verhoudingen in een 45-45-90 driehoek is $1-1-\sqrt{2}$ . Dit betekent dat $MS$ en $SK$ gelijk zijn aan $\frac{3}{\sqrt{2}}$ .
$x_K=x_M+MS=0+\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$
$y_K=y_M+SK=3+\frac{3}{\sqrt{2}}$
De coördinaten van $K$ zijn dus $K(\frac{3}{\sqrt{2}},3+\frac{3}{\sqrt{2}})$ .

Pagina's: 12345678