Les 5: Schaakspellen en wegpakspellen combineren

Vorige les hebben we gezien hoe je twee wegpakspellen kunt combineren. In deze les gaan we naar combinaties van spellen op een schaakbord kijken.

Spel 5.1
We beginnen met een toren op veld h6 en 8 stenen naast het bord. Bij iedere zet mag je kiezen tussen een van de volgende zetten:

  • Je mag de toren een aantal vakjes naar keuze naar links zetten.
  • Je mag de toren een aantal vakjes naar keuze naar beneden zetten.
  • Je mag een stenen naar keuze wegpakken.

De speler die in diens beurt geen zet meer kan doen (omdat de toren op a1 staat en alle fiches weggepakt zijn), verliest het spel.

Opdracht 1:
Vind de winnende strategie bij spel 5.1

Stap 1 van de oplossing:

We willen weer alle minposities weergeven. Een goede manier om dat te doen, is door op ieder veld van het schaakbord aan te geven hoeveel stenen er nog moeten zijn om een minpositie te hebben als de toren op dat veld staat. Als de toren op c1 staat, is er bijvoorbeeld een minpositie bij twee stenen op de stapel. Daarom staat er een 2 in vakje c1.

Oplossing afmaken:

Bij het invullen van het schaakbord kunnen we weer de MEX-regel (Minimal Excluded number) van afgelopen lessen gebruiken. Immers als een toren naar de getallen 0, 1, 2, 3 en 5 kan bewegen, is de positie met vier stenen verloren voor degene die aan de beurt is. Dit kunnen we zien door alle mogelijke zetten langs te lopen:

  • Mogelijkheid 1: De ander pakt stenen weg.
    Stel dat de ander x stenen overhoudt. Dan kun jij de toren op het veld met het getal x zetten.
  • Mogelijkheid 2: De ander zet de toren op een lager getal.
    Als de ander de toren op het veld met het getal 0, 1, 2 of 3 neerzet, kun jij stenen wegpakken, zodat het getal op het veld weer correspondeert met het aantal stenen.
  • Mogelijkheid 3: De ander zet de toren op een hoger getal.
    Als de ander de toren op een veld met een hoger getal zet, kun jij de toren weer terugzetten op een veld met het getal 4 (van een getal hoger dan 4 kun je door de MEX-regel immers altijd weer naar een 4 bewegen).

Als we de MEX-regel volgen, krijgen we de volgende posities die verloren zijn voor de startspeler (waarbij een 3 op een vakje betekent dat als de toren daar staat er drie stenen moeten zijn voor een minpositie).

De truc om te winnen, is door steeds naar een minpositie te gaan. Je begint dus om zes van de acht stenen weg te pakken (en er dus twee over te houden).

Pagina's: Pagina 1, Pagina 2, Pagina 3, Pagina 4

Les 7: Differentievergelijkingen

In de module “inductie en rijen” hebben we differentievergelijkingen opgelost. We hebben daarbij echter alle situaties met complexe getallen vermeden. In deze les gaan we naar de situaties kijken waarin we wel complexe getallen tegenkomen. Voor we daarmee starten, vind je op deze pagina 3 opgaven om de kennis op te halen die we in de module “inductie en rijen” geleerd hebben.

Opdracht 1:
Stel de directe formule op van de rij u_{n+2}=u_{n+1}+6u_{n} met u_0=5 en u_1=0.

Uitwerking:
  • Substitutie van u_n=g^n geeft g^{n+2}=g^{n+1}+6g^n.
  • Delen door g^n geeft g^2=g+6
    g^2-g-6=0
    (g-3)(g+2)=0
    g=3\vee g=-2
  • Dit geeft u_n=c_1\cdot 3^n+c_2\cdot (-2)^n.
    Invullen van \begin{cases}u_0=5\\u_1=0\end{cases} geeft \begin{cases}c_1+c_2=5\\ 3c_1-2c_2=0\end{cases}
    \begin{cases}2c_1+2c_2=10\\ 3c_1-2c_2=0\end{cases}
    De vergelijkingen optellen geeft 5c_1=10 en dus c_1=2.
    Invullen van c_1=2 in c_1+c_2=5 geeft 2+c_2=5 en dus c_2=3.
  • De directe formule van u_n is dus u_n=2\cdot 3^n+3\cdot (-2)^n.

Opdracht 2:
a) Stel de directe formule op van de rij u_{n+2}=u_{n+1}+u_n met u_0=0 en u_1=1.
b) Van welke rij heb je nu een directe formule gevonden?

Uitwerking a:
  • Substitutie van u_n=g^n geeft g^{n+2}=g^{n+1}+g^n.
  • Delen door g^n geeft g^2=g+1
    g^2-g-1=0
    (g-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-1=0
    (g-\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}
    g-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{5}\vee g-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{5}
    g=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\vee g=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5}
  • Dit geeft u_n=c_1\cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})^n+c_2\cdot (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5})^n.
    Invullen van \begin{cases}u_0=0\\u_1=1\end{cases} geeft \begin{cases}c_1+c_2=0\\ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})c_1+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5})c_2=1\end{cases}
    \begin{cases}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})c_1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})c_2=0\\ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})c_1+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5})c_2=1\end{cases}
    De vergelijkingen aftrekken geeft \sqrt{5}c_2=-1 en dus c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{1}{5}\sqrt{5}. Dit weer invullen in c_1+c_2=0 geeft c_1=\frac{1}{5}\sqrt{5}.
  • De directe formule van u_n is dus u_n=\frac{1}{5}\sqrt{5}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})^n-\frac{1}{5}\sqrt{5}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5})^n

Uitwerking b:

Dit is de rij van Fibonacci.

Opdracht 3:
Stel de directe formule op van de rij u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n met u_0=1 en u_1=3.

Uitwerking:
  • Substitutie van u_n=g^n geeft g^{n+2}=4g^{n+1}-4g^n.
  • Delen door g^n geeft g^2=4g-4
    g^2-4g+4=0
    (g-2)(g-2)=0
    g=2\vee g=2
  • In de module “inductie en rijen” hebben we gezien dat de algemene oplossing dan van de vorm u_n=(c_1n+c_2)2^n zijn.
  • Invullen van \begin{cases}u_0=1\\u_1=3\end{cases} geeft \begin{cases}c_2=1\\ 2c_1+2c_2=3\end{cases}
    c_2=1 geeft 2c_1+2=3
    2c_1=1 en dus c_1=\frac{1}{2}
  • De directe formule van u_n is dus u_n=(\frac{1}{2}n+1)2^n.

Pagina's: Pagina 1, Pagina 2, Pagina 3, Pagina 4

Les 9: particuliere oplossing

Vorige les hebben je differentiaalvergelijkignen opgelost waarbij er in de vergelijking in iedere term f(x) voorkwam. We starten met hier nog vier van op te lossen:

Opdracht 1a:
Vind alle functies f die voldoen aan f'(x)=3f(x).

Uitwerking:

De oplossing is f(x)=c\cdot e^{3x}.

Opdracht 1b:
Vind alle functies g, zodat g'(x)=5\cdot g(x)+2i\cdot g(x).

Uitwerking:

Je schrijft de rechterkant eerst om naar de vorm \text{functie}\cdot g(x). Dat geeft in dit geval g'(x)=(5+2i)\cdot g(x). Het antwoord is daarom g(x)=c\cdot e^{5x+2ix}, want de afgeleide van wat in de exponent staat, moet 5+2i zijn.

Opdracht 1c:
Vind alle functies h, zodat h'(x)=\sin(x)h(x)+\frac{h(x)}{x}.

Uitwerking:

Je herschrijft eerst de differentiaalvergelijking naar de vorm f'(x)=\text{functie}\cdot f(x). Dat geeft f'(x)=\sin(x)\cdot f(x)+\frac{1}{x}\cdot f(x) en dus f'(x)=(\sin(x)+\frac{1}{x})\cdot f(x). De oplossingen daarvan zijn f(x)=c\cdot e^{-\cos(x)+ln|x|} of netter f(x)=\begin{cases}c_1\cdot e^{-\cos(x)+ln(x)\quad \text{ voor }x>0\\ c_2\cdot e^{-\cos(x)+ln(-x)\quad \text{ voor }x<0\end{cases}.

Opdracht 1d:
Vind alle functies k die voldoen aan k''(x)+5k'(x)-14k(x)=0.

Uitwerking:

Substitueren van k(x)=c\cdot e^{ax}, k'(x)=a\cdot c\cdot e^{ax} en k''(x)=a^2\cdot c\cdot e^{ax} in k''(x)+5k'(x)-14k(x)=0 geeft a^2\cdot c\cdot e^{ax}+7a\cdot c\cdot e^{ax}-14c\cdot e^{ax}=0. Delen door c\cdot e^{ax} geeft de vergelijking a^2+5a-14=0. Na ontbinden in factoren is dit (a+7)(a-2)=0 en dus a=-7\vee a=2. In het algemeen is de oplossing dus f(x)=c_1\cdot e^{-7x}+c_2\cdot e^{2x}.

Pagina's: Pagina 1, Pagina 2, Pagina 3, Pagina 4, Pagina 5

Les 8: differentiaalvergelijking

Een differentiaalvergelijiking is een vergelijking die een verband aangeeft tussen een functie f(x) en zijn afgeleides. Voorbeelden van differentiaalvergelijkingen zijn:

  • f'(x)=3f(x)
  • f'(x)=x\cdot f(x)+\frac{f(x)}{3}
  • f''(x)+8f'(x)+15f(x)=0

Het doel van dit soort differentiaalvergelijkingen is altijd om alle functies f(x) te vinden die aan deze vergelijking voldoen. Vandaag ga je leren hoe je de drie type vragen die hierboven staan oplost.

Pagina's: Pagina 1, Pagina 2, Pagina 3, Pagina 4, Pagina 5, Pagina 6, Pagina 7

Les 3: Wortels en functies delen

In de vorige les hebben we het stappenplan geleerd wat je kunt gebruiken om derdegraads vergelijkingen op te lossen. Er zijn echter nog twee vaardigheden die we moeten leren om derdegraads vergelijkingen volledig op te kunnen lossen:

  1. Oplossing wegdelen
    Derdegraads vergelijkingen hebben vaak drie oplossingen. Met de methode van les 2 hebben we echter maar één oplossing gevonden. Om de andere oplossingen te krijgen, moeten we een oplossing wegdelen. Dat is het eerste wat we vandaag gaan leren.
  2. Derdegraads wortel herleiden
    In les 2 kwamen de derdegraads wortels mooi uit. Vaak gebeurt dat niet. Om de oplossing te krijgen, moeten we daarom \sqrt[3]{\text{getal}+\sqrt{\text{getal}}} simpeler schrijven. Hoe je dat kan doen, is het tweede wat we vandaag gaan leren.

Nadat we deze vaardigheden geleerd hebben, bekijken we nog hoeveel oplossingen een kwadratische en een derdegraads vergelijking kunnen hebben.

Pagina's: Pagina 1, Pagina 2, Pagina 3, Pagina 4

2015 tijdvak 1

Hier kun je het tweede oefenexamen (2015 tijdvak I) downloaden. De bijbehorende uitwerkbijlage vind je hier. Hieronder vind je weer de linkjes naar de aanpakken en uitwerkingen van de individuele contexten:

Pagina's: Pagina 1, Pagina 2, Pagina 3, Pagina 4, Pagina 5, Pagina 6, Pagina 7

Oefenexamen 2026

Ongeveer een maand voor het eindexamen is bekend hoeveel punten iedere vraag waard is. Tijdvak I van 2026 heeft de volgende puntenverdeling:

Dit oefenexamen heb ik zo gemaakt dat hij vrijwel dezelfde puntenverdeling heeft als jullie echte eindexamen (alleen de punten van vraag 7 en 8 zijn omgedraaid). Dit examen is dus heel geschikt om een gevoel te krijgen van de lengte van jullie examen straks. Natuurlijk kunnen de onderwerpen wel totaal anders zijn. Mijn advies is om het examen in zijn geheel in 3 uur te maken en hem dan na te kijken met het nakijkvel. Voor uitgebreidere aanpakken/uitwerkingen kun je natuurlijk weer op de volgende pagina’s kijken.

De opdrachten vind je hier en het nakijkvel vind je hier. De uitgebreidere uitwerkingen met aanpak staan op de volgende pagina’s:

Pagina's: Pagina 1, Pagina 2, Pagina 3, Pagina 4, Pagina 5, Pagina 6, Pagina 7, Pagina 8, Pagina 9, Pagina 10

Index

Hieronder vind je van alle examensommen een linkje naar de pagina waarop deze uitgewerkt worden. Examensommen waarop je niet kan klikken zijn nog niet verwerkt in mijn examentraining.

2025 tijdvak I

2025 tijdvak II

2024 tijdvak I

2024 tijdvak II

2023 tijdvak I

2023 tijdvak II

2022 tijdvak I

2022 tijdvak II

2022 tijdvak III

2021 tijdvak I

2021 tijdvak II

2021 tijdvak III

2019 tijdvak I

2019 tijdvak II

2018 tijdvak I

2018 tijdvak II

2017 tijdvak I

  • Rakende grafieken?
  • Bewegen over een lijn
  • Een derde cirkel
  • Een achtbaan
  • Een gebroken functie
  • Brandwerendheid van een deur
  • Perforaties

2017 tijdvak II

2016 tijdvak I

2016 tijdvak II

2015 tijdvak I

2015 tijdvak II

2014 tijdvak I

2014 tijdvak II

2013 tijdvak I

2013 tijdvak II

2012 tijdvak I

2012 tijdvak II

Vorig examenprogramma

Les 4: derdegraads vergelijkingen deel 2

In les 2 hebben we een aanpak geleerd om derdegraads vergelijkingen mee op te lossen. Er ontbraken daar echter nog twee stappen:

  • We kregen slechts één van de drie oplossingen.
  • De wortels kwamen altijd mooi uit (en meestal doen ze dat niet)

In les 3 hebben we de vaardigheden die nodig zijn om alle oplossingen in het algemeen te vinden geleerd. In deze les gaan we de kennis van deze twee lessen combineren waarmee we in het algemeen exact derdegraadsvergelijkingen kunnen oplossen.

Pagina's: Pagina 1, Pagina 2, Pagina 3, Pagina 4, Pagina 5

Les 2: derdegraads vergelijkingen

Het eerste hoofdstuk van Paul Nahim gaat over het oplossen van derdegraads vergelijkingen. Zo’n vergelijking heeft in het algemeen drie oplossingen. In de komende drie lessen gaan we leren hoe je deze oplossingen vindt. Als voorbereiding op deze lessen helpt het om de paragrafen 1.1 t/m 1.5 door te lezen. Het is hierbij niet erg als je nog niet alles begrijpt. In de lessen gaan we namelijk de berekeningen uitvoeren en dan wordt het allemaal logischer. Toch helpt het om al een algemeen beeld te hebben met een beetje historische context en dat geven deze pagina’s wel.

Opdracht 1: (Voorbereiding op de les)
Lees paragraaf 1.1 t/m 1.5 van “An Imaginary Tale”.

Op de volgende pagina’s zul je de gelezen tekst toepassen op de vergelijking x^3-6x^2-9x-310. Daarbij komen we via de drie transformaties in het plaatje hieronder bij een oplossing.

Ter voorbereiding hierop kijken we eerst naar een soortgelijke oplosmethode van kwadratische vergelijkingen.

Pagina's: Pagina 1, Pagina 2, Pagina 3, Pagina 4, Pagina 5, Pagina 6