In deze les gaan we een estafette doen zoals een aantal van jullie vrijdag ook gaan doen bij het wiskundetoernooi in Nijmegen. Dit werkt op de volgende manier:
Jullie krijgen in groepjes van 3 een uur voor 15 opdrachten.
Jouw groep kan maar met één opdracht tegelijk bezig zijn. De volgende opdracht krijg je steeds als je het antwoord op de vorige opdracht hebt ingeleverd.
Als je een vraag niet weet, kun je gewoon iets gokken om naar het volgende probleem te gaan. Je kan echter niet meer terug naar dit probleem.
Iedere vraag is tussen de 18 en 31 punten waard. Het team wat de meeste punten gescoord heeft op het einde wint.
In les 1 hebben we te maken gehad met een aantal problemen die er heel verschillend uitzagen, maar wiskundig hetzelfde bleken te zijn. In deze les beginnen we juist met acht problemen die er bijna hetzelfde uitzien, maar wiskundig heel verschillend zijn. Je kunt deze soms slim oplossen met technieken uit de vorige les en soms moet je de gevallen systematisch noteren zoals in les 1.
Opdracht: Er zijn 3 ballen die je in 5 dozen wilt doen. Op hoeveel manieren kan dit als er bal(len) in een doos passen/past? Beantwoord de bovenstaande vraag voor
A: verschillende, B: verschillende, C: meerdere
A: identieke, B: identieke, C: één
A: verschillende, B: verschillende, C: één
A: identieke, B: identieke, C: meerdere
A: verschillende, B: identieke, C: meerdere
A: verschillende, B: identieke, C: één
A: identieke, B: verschillende, C: één
A: identieke, B: verschillende, C: meerdere
Opdracht: a) Doe dezelfde opdrachten voor 6 ballen en 10 dozen. b) Doe dezelfde opdrachten (behalve 4 en 5) voor 60 ballen en 100 dozen.
Hieronder staan de eindantwoorden. Uitgebreidere uitwerkingen staan op de volgende pagina.
We beginnen met twee startproblemen. Het eerste probleem geeft het type probleem aan dat je op het einde van deze week (dus na les 3) moet kunnen oplossen. Om dit nu al te kunnen, heb ik een foutieve uitwerking toegevoegd die je een beetje op de goede weg helpt.
Opdracht 1: Loek telt hoeveel pincodes van vijf cijfers er zijn die precies drie nullen of precies twee enen bevatten. Hierbij is het belangrijk om te weten dat de wiskundigen het woord of altijd gebruiken als een en/of. De pincode 00101 moet Loek dus ook meetellen. Na wat nadenken komt Loek tot het antwoord . a) Leg uit wat de logica van Loek is. b) Verbeter de fouten die Loek gemaakt heeft.
Uitwerking a:
Er zijn opties om de posities van de drie nullen te kiezen. Bij ieder van die posities kun je volgens Loek de overige cijfers nog op manieren kiezen. Als we het aantal pincodes met drie nullen willen tellen, maken we deze beide keuzes en dus moeten we de aantallen vermenigvuldigen. Dat geeft pincodes met drie nullen.
Op dezelfde manier kun je de posities van twee enen op manieren kiezen. Bij ieder van die posities denkt Loek dan keuzes te hebben voor de overige cijfers. Dat geeft pincodes met twee enen.
Beide type pincodes die we hierboven geteld hebben, zijn goed voor Loek. Hij telt daarom deze twee groepen pincodes bij elkaar op. Dat geeft .
Uitwerking b:
Nadat Loek de nullen gekozen heeft, mogen de twee andere cijfers geen nul meer zijn. Er zijn daarom in plaats van mogelijke pincodes met precies drie nullen.
Op dezelfde manier mag Loek geen enen meer kiezen nadat hij voor twee posities een één gekozen heeft. Het aantal pincodes met twee enen is dus .
Als we bovenstaande twee aantallen bij elkaar optellen, hebben we de pincodes met drie nullen en twee enen dubbel geteld. Daar zijn er van (want zodra je de nullen gekozen hebt, liggen de enen vast).
In totaal zijn er dus manieren.
Lees na het maken van deze vraag de onderstaande alinea (ik heb hem verborgen gemaakt, omdat het antwoord van opdracht 1 hierin genoemd wordt).
Hoe je eindantwoorden in deze module mag noteren:
Het aantal mogelijkheden komt bij opdracht 1 uit op 8090. Het interessante deel van het probleem is echter om tot de som te komen. In de lessen en op de toets is dat antwoord dus genoeg. Om dit te stimuleren, wordt de toets zonder rekenmachine.
Desondanks zal ik bij de antwoorden altijd ook het uitgerekende antwoord vermelden, zodat je gemakkelijker kunt controleren of jouw rekensom op hetzelfde als mijn rekensom uitkomt (vaak zijn er vele manieren om tot het eindantwoord te komen). Hiervoor kun je in de les een rekenmachine gebruiken.
Vorige les hebben we gezien dat we kunnen berekenen met .
Opdracht 2: a) Gebruik de bovenstaande rekenmethode om zonder rekenmachine achter iedere combinatie in de onderstaande figuur de uitkomst te zetten. b) Welk patroon zie je in deze getallen?
Uitwerking a:
De figuur gaat er als volgt uitzien:
Uitwerking b:
Ieder getal lijkt gelijk te zijn aan de som van de twee getallen die er schuin boven staan.
De driehoek in de afbeelding hierboven heet ook wel de driehoek van Pascal. De getallen in deze driehoek komen in verrassend veel problemen terug. Een vraag die wiskundigen zichzelf dan vaak zichzelf stellen of ze een logische verklaring kunnen geven wat hun probleem met combinaties te maken hebben. Die vraag zullen wij ons in de komende lessen ook nog vaker stellen. Voor nu kijken we alleen nog naar het patroon wat deze driehoek zo bijzonder maakt.
Opdracht 3: Opdracht 2b suggereert dat . In deze opgave ga je laten zien waarom dit geldt. a) Op hoeveel manieren kan ik 3 leerlingen uit een groep van 10 uitkiezen om een T-shirt te geven? b) Op hoeveel manieren kan ik 3 leerlingen uit een groep van 10 uitkiezen om een T-shirt te geven, waarbij Merel een van de leerlingen is die een T-shirt krijgt? c) Op hoeveel manieren kan ik 3 leerlingen uit een groep van 10 uitkiezen om een T-shirt te geven, waarbij Merel geen T-shirt krijgt? d) Leg nu uit waarom .
Uitwerking a:
Dat kan op manieren.
Uitwerking b:
Nog 2 van de 9 andere leerlingen moeten gekozen worden. Daar zijn manieren voor.
Uitwerking c:
Nu moeten 3 van de 9 andere leerlingen gekozen worden. Daar zijn manieren.
Uitwerking d:
Het aantal manieren om de T-shirts te verdelen is gelijk aan het aantal manieren waarop Merel wel een T-shirt krijgt plus het aantal manieren waarop Merel geen T-shirt krijgt (want één van de twee gebeurt altijd). Deze twee telproblemen gelijkstellen geeft zoals gevraagd.
In latere lessen gaan we zowel deze manier van redeneren terugzien als het gebruik van de driehoek van Pascal. In de rest van deze les zullen we beziggaan met het toepassen van combinaties in wat ingewikkeldere telproblemen, zoals opdracht 1 hierboven.
In deze les gaan we leren hoe we een paar bijzondere trucjes rond tellen leren. Voordat we daaraan gaan beginnen, starten we met een aantal telproblemen die ons leren dat we gestructureerd moeten werken.
Opdracht 1: Marius heeft onbeperkt veel munten van één euro en twee euro en biljetten van vijf euro. Hij wil daarmee een bedrag van 10 euro gepast betalen. Op hoeveel manieren kan hij dit doen?
Verduidelijking vraag:
Betalen met een biljet van vijf euro en vijf munten van één euro is hetzelfde als betalen met vijf munten van één euro en een biljet van vijf euro. De volgorde waarin hij de biljetten geeft, maakt dus niet uit.
Uitwerking:
Er is één manier met twee biljetten van vijf euro.
Er zijn drie manieren met één biljet van vijf euro (hij kan 0, 1 of 2 munten van 2 euro gebruiken en de rest aanvullen met munten van één euro).
Er zijn 6 manieren zonder biljetten van vijf euro (hij kan 0 t/m 5 munten van 2 euro gebruiken en de rest aanvullen met munten van één euro).
Er zijn dus mogelijkheden.
Bovenstaande is een manier om de aantallen te berekenen zonder ze allemaal op te schrijven. We kunnen natuurlijk ook alle mogelijkheden opschrijven. Als je dat doet, probeer dit dan in een volgorde te doen waarop duidelijk is dat je geen oplossingen mist. Bijvoorbeeld van groot naar klein:
55
5221
52111
511111
22222
222211
2221111
22111111
211111111
1111111111
Opdracht 2: Hoeveel positieve getallen onder de 1001 kunnen geschreven worden in de vorm met en gehele getallen en .
Verduidelijking vraag:
Op deze site hanteren we de definitie dat niet positief en niet negatief is.
Uitwerking:
We kunnen de getallen weer tellen in categorieën:
Kwadraten: Er zijn 31 positieve kwadraten – namelijk – onder de 1001 (want en ).
Derdemachten: De derdemachten zijn onder de 1001. Derdemachten van een kwadraat zijn echter ook een kwadraat en die hebben we hierboven al geteld. Alleen en zijn dus nieuw.
Vierde machten: Alle vierde machten zijn ook kwadraten. Hier hebben we dus geen nieuwe getallen.
Vijfde machten: De vijfde machten onder de 1001 zijn en (en , maar die hebben we al eerder geteld).
Overig: We hebben ook geen nieuwe zesde machten en achtste machten, omdat dit weer kwadraten zijn. Daarnaast is alleen en nog klein genoeg om meegeteld te worden.
In totaal hebben we dus positieve getallen onder de 1001 die geschreven kunnen worden als met .
Je kunt de opgaven van de oefentoets hier downloaden. De uitwerkingen en scoremodel staan op de volgende pagina’s. Bij examensommen zijn (zoals altijd) ieder bolletje van de uitwerking één punt. Bij de basisopgaven staat onder de uitwerking waar je de punten voor krijgt.
Hieronder staan nog twee tips voor het maken van de oefentoets:
De beste manier om de oefentoets te maken, is door jezelf 120 minuten de tijd te geven (net als op de echte toets). Je oefent dan ook met de tijd over de opgaven verdelen en kan zien hoe je uitkomt met jouw tijd.
Start de toets met de woorden exact, algebraïsch en bewijs bij iedere vraag te markeren. Zet bij de opgaven waar deze woorden niet staan groot in de kantlijn dat je je GR mag gebruiken. Hiermee voorkom je dat je bij verkeerde opgaven je GR gebruikt (of vergeet te gebruiken). Dat spaart meer tijd dan de minuut die dit kost.
Ik wens je veel succes met de oefentoets en andere voorbereiding op de echte toets!
Krachttraining limieten We starten met een krachttraining waarin je een aantal belangrijke zaken gaat herhalen die je dit kwartaal bij Fu12 geleerd hebt.
Examensom Bij veel examensommen werkt het om alle punten en lijnen te berekenen in de volgorde waarin deze geïntroduceerd worden. Als je vastloopt bij een opgave is dit dus altijd een goede start. We gaan vandaag een voorbeeld van een som zien waarbij dit werkt.
Contextloze sommen Net als iedere andere les komen na de examensom een viertal contextloze sommen op het niveau van de eerste helft van de toets. Hiermee herhaal je de stof van het kwartaal en zorg je ervoor dat je alles bijhoudt.
Formuleblad (deel 2) Vorige les hebben we al gezien dat je vergelijkingen kunt oplossen en formules kan herschrijven met het formuleblad. In deze les gaan we nog twee andere toepassingen zien: het berekenen van exacte waarden van sinus en cosinus en het aantonen van symmetrie.
Richting de toets is het belangrijk om meer examensommen te oefenen. Hieronder staan examensommen die hiervoor geschikt zijn. Deze heb ik verdeeld in vier categorieën:
Differentiëren
Asymptoten en perforaties
Inverses en transformaties
Goniometrie
Mijn advies is om van iedere categorie in ieder geval een paar contexten voor de toets te oefenen om te wennen aan de verschillende vraagstellingen.
Differentiëren
Klik hier om tien examencontexten over differentiëren te downloaden. Hieronder staan linkjes naar de pagina’s waar hints en uitwerkingen van deze sommen staan.
Klik hier voor een bestand met acht examencontexten over asymptoten en perforaties. Op de volgende pagina’s staan hints en uitwerkingen van deze sommen:
NB: De examensommen die op pagina 10/11 staan van de bovenstaande link bevatten stof van kwartaal 2 uit klas 6. Deze zijn dus niet zo geschikt om te oefenen.
Inverses en transformaties
In dit bestand vind je vijf examensommen over inverses en transformaties. Tips en uitwerkingen van deze examensommen staan op de volgende pagina’s:
NB: Inverses en transformaties komen vaak voor in combinatie met integralen (leer je in kwartaal 2). De sommen op pagina 7 t/m 11 op de bovenstaande pagina hoef je daarom nog niet te kunnen.
Goniometrie
Hier kun je een bestand downloaden met 10 examencontexten over goniometrie. Tips en uitwerkingen van deze contexten vind je op de volgende pagina’s.
Vandaag gaan we spellen spelen op een schaakbord. We beginnen met het volgende torenspel:
Spel 1a: Een toren start op h6. De spelers zetten deze toren om de beurt horizontaal of verticaal richting a1. De speler die de toren op a1 zet, wint het spel.
Opdracht 1: a) Speel spel 1a een (paar) keer tegen iemand. b) Verzin samen een strategie waarmee je altijd van mij kunt winnen. Je mag daarbij kiezen of je wilt beginnen of de tweede speler wilt zijn.
Uitwerking b:
Je wint door de toren steeds op de a1-h8 diagonaal te zetten. Een manier om hier achter te komen, is door net als tijdens de vorige les plussen en minnen te zetten. Hierbij staat een min weer voor een positie waar je niet aan zet wilt zijn en een plus voor een positie waar je wel aan zet wilt zijn. Hiermee kun je het bord van linksonder naar rechtsboven vullen (waarbij op een veld alleen een min komt als je de toren niet kunt zetten op een min). Dat geeft dit resultaat:
Spel 1b: Dit spel werkt precies hetzelfde als spel 1a. Alleen nu win je als de andere speler de toren op a1 zet.
Opdracht 2: a) Speel spel 1b een keer tegen iemand. b) Zoek uit welke speler een winnende strategie heeft en wat deze strategie is.
Uitwerking b:
We maken weer op dezelfde manier een bord met minposities:
De strategie is dus om naar de a1-h8 diagonaal te gaan totdat je naar a2 of b1 kunt bewegen.
Opdracht 3: Verklaar waarom de minposities voor spel 1a en de minposities voor spel 1b voor een groot deel overlappen.
Uitwerking:
Spel 1a heeft de minposities a1 en b2. Spel 1b heeft de minposities a2 en b1. Aangezien je van precies dezelfde velden buiten het vierkant a1-a2-b1-b2 naar beide paren minposities kunt gaan, zullen buiten het vierkant a1-a2-b1-b2 beide spellen dezelfde plusposities en minposities hebben.
Het idee van veel lessen in deze module is dat je de spellen eerst tegen elkaar speelt en vervolgens samen een strategie verzint waarmee je altijd van mij kunt winnen.
Spel 1: Dit is een spel voor twee spelers. Op een tafel liggen 21 stenen. Als je aan de beurt bent, mag je naar keuze 1, 2 of 3 stenen wegpakken. De speler die de laatste steen wegpakt, wint het spel.
Opdracht 1: a) Speel spel 1 een (paar) keer tegen iemand. b) Verzin samen een strategie waarmee je altijd kunt winnen. Je mag daarbij kiezen of je wilt beginnen of de tweede speler wilt zijn.
Begin van de oplossing van b:
Als je het spel een paar keer speelt, kom je erachter dat je niet met 4 stenen op tafel aan de beurt wilt zijn. Ongeacht van hoeveel stenen je wegpakt, kan de ander altijd de overige stenen wegpakken. Dit suggereert dat er twee type posities zijn:
Posities waarin je aan de beurt wilt zijn.
Posities waarin je wilt dat de ander aan de beurt is.
Probeer de posities in deze twee categorieën in te delen. In de tabel hieronder is daarmee al een begin gemaakt. Hierbij zijn de posities waarin je aan de beurt wilt zijn met een plus aangegeven en de posities waarin je wilt dat de ander aan de beurt is, zijn met een min aangegeven.
Oplossing b:
De truc bij het oplossen van dit soort spellen is om van de eindpositie terug te redeneren naar de beginpositie. Daarbij delen wiskundigen de posities in twee categoriën in:
Type 1: Posities waarin je aan de beurt wilt zijn. Type 2: Posities waarin je wilt dat de ander aan de beurt is.
In dit geval gaat de redenering als volgt:
Bij 1-3 stenen wil je aan de beurt zijn, want je kan winnen door alles weg te pakken.
Bij 4 stenen wil je niet aan de beurt zijn, want ongeacht wat je doet, kan de ander de rest pakken.
Bij 5-7 stenen wil je wel aan de beurt zijn, want dan kun je de ander met het vervelende aantal van 4 stenen overlaten.
Bij 8 stenen wil je niet aan de beurt zijn, want ongeacht wat je doet, kan de ander je met 4 stenen overlaten (waarin je niet aan de beurt wilt zijn).
Bij 9-11 stenen wil je wel aan de beurt zijn, want je kunt de ander met het vervelende aantal van 8 stenen overlaten.
Deze redenering kost veel tijd om op te schrijven. Wiskundigen gebruiken daarom liever een tabel. Hierin staat een plus voor een positie waarin je wel aan de beurt wilt zijn en een min voor een positie waarin je niet aan de beurt wilt zijn. De tabel bij dit spel vind je hieronder.
Merk op dat we hierbij de tabel vaak al beginnen bij nul stenen. Dit is een positie waarbij je wint als je er naartoe beweegt. Dit is ook het geval bij alle minposities. Daarom zetten we hier ook een min neer.
Opdracht 2: a) Kun je spel 1 winnen als we beginnen met 2026 stenen? Zo ja: welke zet moet je dan doen? b) Bij welk aantal stenen heb je als startspeler geen winnende strategie als je in plaats van 1, 2 of 3 stenen er 1 t/m 6 stenen mag wegpakken?
Uitwerking a:
De minposities (posities waarin je niet aan de beurt wilt zijn) zijn de posities waarin het aantal stenen een viervoud is. Aangezien 2024 gelijk is aan , is 2024 een minpositie. De winnende strategie vanaf 2026 stenen is dus om te beginnen en dan twee stenen weg te pakken. Vervolgens houd je het aantal stenen steeds op een viervoud.
Uitwerking b:
Het aantal stenen moet dan na je beurt een zevenvoud zijn (hier kun je achter komen door weer zo’n tabel te maken). De posities waarbij je niet kan winnen, zijn dus posities waarin het aantal posities al een zevenvoud is.
Opdracht 3: We kijken weer naar het spel waarbij je 1, 2 of 3 stenen mag wegpakken en we beginnen met 21 stenen. Je wint nu echter als de andere speler de laatste steen pakt. a) Welke speler heeft nu een winnende strategie? En wat is die strategie? b) Bekijk het antwoord van opdracht 1 als je dat nog niet gedaan hebt. Denk je dat wiskundigen 0 stenen bij het spel van deze opdracht een pluspositie of een minpositie noemen?
Uitwerking a:
We kunnen op eenzelfde manier een tabel maken als bij opdracht 1. De positie met één steen is een minpositie, omdat je verliest als je daar aan de beurt bent. Vanaf daar kun je op een soortgelijke manier terugwerken. Dat geeft deze tabel:
De tweede speler heeft nu een winnende strategie door het aantal stenen na zijn beurt steeds een viervoud plus één te laten zijn.
Uitwerking b:
Wiskundigen noemen dit een pluspositie. Dit is zo, omdat je een pluspositie niet alleen kunt formuleren als “De speler die aan zet is, heeft een winnende strategie”, maar ook als “Jouw tegenstander heeft een winnende strategie als je naar deze positie beweegt”. In deze tweede formulering is het duidelijk dat 0 stenen een pluspositie is. De andere speler wint immers als die naar 0 stenen zet.
Krachttraining domein en bereik We starten met een krachttraining waarin je gaat herhalen hoe je het domein en bereik van allerlei soorten functies bepaalt.
Examensom Bij de examensom van vandaag moet je een perforatie berekenen. Dit is voor een groot deel een basissom, maar er is toch een klein dingetje net een beetje anders. De uitdaging is om te bedenken hoe je daarmee om moet gaan.
Contextloze sommen Net als iedere andere les komen na de examensom een viertal contextloze sommenop het niveau van de eerste helft van de toets. Hiermee herhaal je de stof van het kwartaal en zorg je ervoor dat je alles bijhoudt.
Formuleblad Als nieuwe theorie gaan we beginnen met de module Go3. Het belangrijkste nieuwe in deze module is dat we gewend gaan raken aan het formuleblad dat je er op je examen bijkrijgt. In deze les bekijken we al de twee belangrijkste type sommen die je daarmee moet oplossen: vergelijkingen en het bewijzen van formules.
ballen die je in 5 
dozen wilt doen. Op hoeveel manieren kan dit als er 
bal(len) in een doos passen/past?
.
opties om de posities van de drie nullen te kiezen. Bij ieder van die posities kun je volgens Loek de overige cijfers nog op 
manieren kiezen. Als we het aantal pincodes met drie nullen willen tellen, maken we deze beide keuzes en dus moeten we de aantallen vermenigvuldigen. Dat geeft 
pincodes met drie nullen.
manieren kiezen. Bij ieder van die posities denkt Loek dan 
keuzes te hebben voor de overige cijfers. Dat geeft 
pincodes met twee enen.
in plaats van 
.
manieren.
kunnen berekenen met 
.
. In deze opgave ga je laten zien waarom dit geldt.
manieren.
manieren voor.
manieren.
mogelijkheden.
onder de 1001 kunnen geschreven worden in de vorm 
met 
en 
gehele getallen en 
.
niet positief en niet negatief is.
– onder de 1001 (want 
en 
).
zijn onder de 1001. Derdemachten van een kwadraat zijn echter ook een kwadraat en die hebben we hierboven al geteld. Alleen 
en 
en 
(en 
, maar die hebben we al eerder geteld).
en 
nog klein genoeg om meegeteld te worden.
positieve getallen onder de 1001 die geschreven kunnen worden als 
met 
, is 2024 een minpositie. De winnende strategie vanaf 2026 stenen is dus om te beginnen en dan twee stenen weg te pakken. Vervolgens houd je het aantal stenen steeds op een viervoud.