peterypma.nl

In de vorige les hebben we een oplossing gevonden van derdegraads vergelijkingen die mooi uitkomen. In deze les zullen we zien dat de wortels die we halverwege onze oplossing krijgen niet altijd zo mooi uitkomen. We gaan leren wat we dan moeten doen.

De vergelijking uit het boek

In het boek bekijken ze de vergelijking . We gaan deze vergelijking eerst eens beter bekijken.

Opdracht 1:
a) Laat zien dat een oplossing is van door hierin te vullen.
b) Laat met behulp van de oplostechniek uit les 2 zien dat een oplossing is van .
c) Vereenvoudig het antwoord van opdracht b naar de vorm met een zo’n klein mogelijk geheel getal.

Onze oplosmethode geeft dus het antwoord , terwijl we eigenlijk het antwoord 2 willen krijgen. Schijnbaar moeten we ons antwoord op het eind nog herschrijven. Om dat te doen, gebruiken we een stelling die zegt dat te schrijven is in de vorm met en veelvouden van als aan de volgende eisen voldaan is:

• moet een zo klein mogelijk geheel getal zijn.
• De oorspronkelijke vergelijking moet een breuk als oplossing hebben (anders is de uitdrukking die we kregen niet te vereenvoudigen).

Helemaal op het eind van deze les staat een bonuspagina waarin we deze stelling uitgebreider bekijken. Dat stuk is geen toetsstof. Wel moet je de stelling kunnen toepassen. Dat gaan we in de volgende opdracht doen, waarbij we berekenen dat inderdaad gelijk is aan 2.

Opdracht 2:
a) Stel . Laat hieruit zien dat als en veelvouden van zijn dat volgt .
b) Los het stelsel op waarbij je gebruik maakt van de kennis dat en veelvouden van moeten zijn.
c) Laat zien dat geldt voor de door jou gevonden waarden in opdracht b.
d) Laat nu zien waarom geldt.

Alles in één keer

In de volgende opgave los je een derdegraadsvergelijking volledig op, zoals ze dat in de begintijd deden. Hierbij moet je dus eerst de stappen uit les 2 uitvoeren en vervolgens de lelijke wortels die je krijgt nog omschrijven naar een mooi getal.

Opdracht 3:
Los exact op.

Het eerste hoofdstuk van Paul Nahim gaat over het oplossen van derdegraads vergelijkingen. Zo’n vergelijking heeft in het algemeen drie oplossingen. In de komende drie lessen gaan we leren hoe je deze oplossingen vindt. Als voorbereiding op deze lessen helpt het om de paragrafen 1.1 t/m 1.5 door te lezen. Het is hierbij niet erg als je nog niet alles begrijpt. In de lessen gaan we namelijk de berekeningen uitvoeren en dan wordt het allemaal logischer. Toch helpt het om al een algemeen beeld te hebben met een beetje historische context en dat geven deze pagina’s wel.

Opdracht 1: (Voorbereiding op de les)
Lees paragraaf 1.1 t/m 1.5 van “An Imaginary Tale”.

Op de volgende pagina’s zul je de gelezen tekst toepassen op de vergelijking . Daarbij komen we via de drie transformaties in het plaatje hieronder bij een oplossing.

Ter voorbereiding hierop kijken we eerst naar een soortgelijke oplosmethode van kwadratische vergelijkingen.

Deze module gaat over een getal waarvoor geldt dat . Voordat we met de module beginnen, kunnen we al een paar observaties doen over dit getal. De eerste is dat dit getal niet op de getallenlijn kan liggen.

Opdracht 1:
Leg uit waarom het getal niet op de getallenlijn kan liggen.

Een tweede observatie is dat als we getallen van de vorm bij elkaar optellen, aftrekken of vermenigvuldigen er weer een getal van de vorm uitkomt. Kijk maar of je er zelf uitkomt:

Opdracht 2:
a) Vereenvoudig tot .
b) Vereenvoudig tot .
c) Vereenvoudig tot .

We zullen later ook zien dat als je getallen van de vorm door elkaar deelt je ook weer een getal van de vorm eruit krijgt.

Ook veel rekenregels die we kennen van normale getallen gelden voor getallen van de vorm . Zo laat je in de opdracht hieronder zien dat ook geldt voor complexe getallen. Je kunt dus op de normale manier haakjes uitwerken.

Opdracht 3:
Neem hieronder dat , en .
a) Herschrijf tot de vorm .
b) Herschrijf tot de vorm .
c) Hoe volgt uit je antwoorden van a) en b) dat ook geldt voor complexe getallen?

De bovenstaande opgaven laten zien dat je op een relatief normale manier kunt rekenen met getallen van de vorm . Het verklaart echter nog niet waarom wiskundigen dit zijn gaan doen en waarom het voor veel toepassingen nuttig is om met deze getallen te rekenen. Op het eind van deze module kun je niet alleen rekenen met deze getallen van de vorm , maar begrijp je hopelijk ook waarom dit nuttig is voor veel toepassingen.

Hierbij zal je merken dat de nieuwe getallen soms nog wat onwennig aanvoelen. Dat is helemaal niet gek. Wiskundigen hebben honderden jaren geworsteld met deze getallen. Ze hebben ze toendertijd ook niet voor niets de naam “complexe getallen” gegeven. Tegenwoordig vinden wiskundigen deze getallen helemaal niet meer complex, maar daar is best wat tijd voor nodig geweest…

De opbouw van de module

Dit lessen van dit kwartaal zijn geschreven rond het boek An imaginary tale van Paul Nahim. Het idee is dat je steeds voorafgaand aan de les een paar pagina’s uit dit boek leest. Dit doe je om de historische context te zien en een beeld te krijgen van de wiskundige stappen. In de les zelf ga je er met opdrachten op deze site voor zorgen dat je de wiskunde op deze pagina’s ook volledig begrijpt en zelf in een vergelijkbare situatie kunt uitvoeren. Na afloop van de les lees je de pagina’s nog een keer en ga je na of je nu ook echt alles begrijpt.

Aangezien het volledig begrijpen van het boek al genoeg uitdaging voor dit kwartaal is, mag je bij de toets het boek “An imaginary tale” van Paul Nahim erbij houden. Andere aantekeningen en mijn lessen mag je er echter niet bijhouden. Je moet dus echt zorgen dat je het verhaal van Paul Nahim goed genoeg begrijpt (en weet waar alles staat) om de opdrachten op de toets goed te kunnen maken.