Home

Differentiëren

Op de volgende pagina’s vind je gemengde sommen over differentiëren. Zodra ik er tien gemaakt heb, komen op deze pagina de linkjes naar deze sommen en een bestand waar je al deze tien sommen kunt downloaden.

Pagina's: 12

Functies gemengd

Op de volgende pagina’s vind je gemengde sommen over functies (differentiëren, integreren, transformaties, limieten, perforaties, asymptoten, vergelijkingen en meer van dat soort vaardigheden). Zodra ik er tien gemaakt heb, komen op deze pagina de linkjes naar deze sommen en een bestand waar je al deze tien sommen kunt downloaden.

Pagina's: 123

Inverses en transformaties

Op de volgende pagina’s vind je examensommen over exponenten en logaritmen. Zodra ik er tien gemaakt heb, komen op deze pagina de linkjes naar deze sommen en een bestand waar je al deze tien sommen kunt downloaden.

Pagina's: 12345

Oefenexamen VWO 6 wis B

Hier kun je als oefenexamen het examen uit 2014 downloaden. Mijn advies is om die in één keer te maken. Zoals altijd vind je de uitwerkingen weer op de volgende pagina’s:

Pagina 2: Bal in de sloot
Pagina 3: Cirkels in een driehoek
Pagina 4: Gebroken goniometrische functie
Pagina 5: Boven en onder de lijn door de buigpunten
Pagina 6: Vierkant op een driehoek
Pagina 7: Gespiegelde raaklijnen
Pagina 8: Grafiek verdeelt rechthoek
Pagina 9: De ideale stoothoek

Pagina's: 123456789

Integreren

Op de volgende pagina’s komen de komende weken 10 examencontexten te staan over integreren. Zodra deze er allemaal zijn, kun je hier een bestand downloaden waarin al deze opgaven in hun oorspronkelijke opmaak staan.

Pagina's: 12345

Asymptoten en perforaties

Op de volgende pagina’s komen de komende weken 10 examencontexten te staan over asymptoten en perforaties. Zodra deze er allemaal zijn, kun je hier een bestand downloaden waarin al deze opgaven in hun oorspronkelijke opmaak staan.

Pagina's: 12

Contextsommen

Op de volgende pagina’s vind je contextsommen. Zodra ik er tien gemaakt heb, komen op deze pagina de linkjes naar deze sommen en een bestand waar je al deze tien sommen kunt downloaden.

Pagina's: 12345678910

Complexe getallen les 1: Oudheid

Bij wiskunde D probeer ik vaak twee vakgebieden uit de wiskunde te combineren. In deze module zijn dat de geschiedenis van de wiskunde en complexe getallen. Dit gaan we doen aan de hand van het boek An imaginary tale van Paul Nahim. In dit boek beschrijft Nahim hoe de complexe getallen ontdekt zijn en waar ze in de geschiedenis van de wetenschap zoal gebruikt zijn.

Nahim beschrijft veel mooie wiskunde en interessante toepassingen. Het boek echt begrijpen, vraagt wiskundig echter ook best wat van je. In iedere les zullen we daarom een stukje van het boek bespreken. Daarbij is de opbouw van iedere les als volgt:

Voor de les: Oppervlakkig lezen
Als voorbereiding op de les lees je een paar pagina’s uit het boek. Probeer hierbij de grote lijn in het verhaal te volgen. Noteer een uitroepteken in de kantlijn als je de stap niet begrijpt, maar vind het niet te erg als je stukjes op dit punt nog niet volledig begrijpt.
Les: Opdrachten bij het hoofdstuk
In de les maak je een aantal opdrachten bij de gelezen pagina’s. Hierbij zal ik proberen om de gelezen stof iets concreter te maken met iets simpelere voorbeelden.
Na de les: Lees precies
Na de les lees je de pagina’s opnieuw. De bedoeling is om dat je nu de volledige tekst kan volgen. Hierbij betekent “kan volgen” niet dat je het in hetzelfde tempo kan lezen als een normale roman. Zelf heb ik altijd pen en papier naast het boek liggen om nog eens een tussenstap uit te werken (en regelmatig schrijf ik die ook in de kantlijn van het boek, zodat ik bij het herlezen de stap gemakkelijker kan begrijpen).

Aangezien ik denk dat het begrijpen van het boek een groot genoege uitdaging is, mag je dit boek (en de aantekeningen die je in het boek maakt) er op de toets bijhouden. Zorg er dus voor dat je met de aantekeningen die je in het boek erbij schrijft het boek kunt lezen.

Pagina's: 12345

Bridgemaster

Bridgemaster is een online tool waarmee bridgespelers hun afspel kunnen oefenen. Deze spellen zijn tegenwoordig gratis te spelen en voor iedereen die beter wilt worden in bridge is deze site nuttig om meerdere malen te oefenen.

Dat gezegd hebbende zitten er ook op goede websites natuurlijk fouten. Op de volgende pagina’s bespreek ik een aantal spellen waarin ik geloof dat de oplossing van BridgeMaster niet optimaal is. Om deze berichten te lezen veronderstel ik de volgende voorkennis:

Je kunt goed genoeg bridgen om de speelplannen te overzien.
Je kent uit de kansrekening in ieder geval combinaties.
Je kunt Python-code lezen.

Pagina's: 12

Les 1: Inductie

In ieder vakgebied is er een andere manier om overtuigend over te komen. Zo gebruik je in de natuurkunde experimenten en gebruik je in de geneeskunde statistiek. In de wiskunde gebruiken we bewijzen.

Deze bewijzen zijn er in allerlei soorten en maten. In de eerste lessen bekijken we bewijzen met inductie. Dit type bewijs vergelijk ik vaak met domino day. Dat was een jaarlijke wereldrecordpoging om zoveel mogelijk dominosteentjes te laten omvallen door alleen de eerste om te duwen. Bij deze recordpogingen gingen op de volgende manier miljoenen stenen om:

De eerste dominosteen valt om.
Iedere dominosteen duwt de volgende om.

Als we weten dat deze twee uitspraken kloppen, zullen inderdaad alle dominostenen omgaan. Een bewijs met inductie werkt op een soortgelijke manier. We bewijzen daarmee dat een stelling klopt voor alle natuurlijke getallen (1, 2, 3, 4, …) door de volgende twee uitspraken aan te tonen:

De stelling klopt voor $n=1$ (dit heet de inductiebasis).
Als de stelling klopt voor $n=k$ klopt de stelling ook voor $n=k+1$ (dit heet de inductiestap).

Wiskundigen schrijven hun bewijs altijd in hele zinnen met uitleg. Wij zullen hier een tussenvorm gebruiken, waarbij we wel de structuur duidelijk maken met woorden als inductiebasis, inductiestap en inductiehypothese. Hierbij staat inductiehypothese voor de aanname dat de stelling klopt voor $n=k$ in de inductiestap. Boven ieder =-teken waarbij we de inductiehypothese gebruiken, zetten we IH om aan te geven dat we de InductieHypothese gebruiken.

Voorbeeld 1:
Bewijs met inductie dat $n^2+5n$ een even getal is voor alle natuurlijke getallen $n$ .

Uitwerking:

Inductiebasis:
Voor $n=1$ hebben we $n^2+5n=1^2+5\cdot 1= 6$ en dat is even.

Inductiestap:
De inductiehypothese is dat $k^2+5k=2m$ voor $m$ geheel.
Voor $n=k+1$ hebben we

$\begin{align*}(k+1)^2+5(k+1)&=k^2+2k+1+5k+5\\ &=k^2+5k+2k+6\\ &\stackrel{IH}{=}2m+2k+6\\ &=2(m+k+3)\end{align*}$

Er geldt dus dat $(k+1)^2+5(k+1)$ even is.

Conclusie:
We hebben bewezen dat $n^2+5n$ even is voor elk natuurlijk getal $n$ .

Gebruik bij de onderstaande opgave dezelfde structuur als in het voorbeeld hierboven.

Opdracht 1:
Bewijs dat $3n^2+9n$ een veelvoud van zes is voor alle natuurlijke getallen $n$ .

Uitwerking:

Inductiebasis:
Voor $n=1$ hebben we $3n^2+9n=3\cdot 1^2+9\cdot 1= 12$ en dat is een zesvoud.

Inductiestap:
De inductiehypothese is dat $3k^2+9k=6m$ met $m$ geheel.
Voor $n=k+1$ hebben we

$\begin{align*}3(k+1)^2+9(k+1)&=3k^2+6k+3+9k+9\\ &=3k^2+9k+6k+12\\ &\stackrel{IH}{=}6m+6k+12\\ &=6(m+k+2) \end{align*}$

We hebben dus dat $3(k+1)^2+9(k+1)$ een zesvoud is.

Conclusie:
Met inductie hebben we nu bewezen dat $3n^2+9n$ zesvoud is voor elk natuurlijk getal $n$ .

Bij de inductiestap heb je altijd de inductiehypothese nodig. In de opgave hierboven splitsten we daarom $3k^2+6k+3+9k+9$ tot $(3k^2+9k)+(6k+12)$ . Op die manier kunnen we de inductiehypothese gebruiken op het stukje $3k^2+9k$ . Ook bij de onderstaande opgaven zul je op soortgelijke manier op zoek moeten naar hoe je de inductiehypothese kunt gebruiken bij de inductiestap.

Opdracht 2:
Bewijs dat $9^n-1$ deelbaar is door 4.

Uitwerking 1:

Inductiebasis:
Voor $n=1$ hebben we $9^n-1=9^1-1= 8$ en dat is inderdaad deelbaar door 4.

Inductiestap:
De inductiehypothese voor is dat $9^k-1=4m$ .
Voor $n=k+1$ krijgen we

$\begin{align*}9^{k+1}-1&=9\cdot 9^k-1\\&= 8\cdot 9^k +9^k-1\\ &\stackrel{IH}{=}8\cdot 9^k +4m\\ &= 4(2\cdot 9^k+m)\end{align*}$

We hebben dus $9^{k+1}-1$ deelbaar is door 4.

Conclusie:
Met inductie hebben we nu bewezen dat $9^n-1$ deelbaar is door 4.

Uitwerking 2:

Inductiebasis:
Voor $n=1$ hebben we $9^n-1=9^1-1= 8$ en dat is inderdaad deelbaar door 4.

Inductiestap:
De inductiehypothese voor is dat $9^k-1=4m$ .
Voor $n=k+1$ krijgen we

$\begin{align*}9^{k+1}-1&=9\cdot 9^k-1\\&= 9\cdot 9^k +9-8\\ &= 9(9^k+1)-8\\ &\stackrel{IH}{=}9(4m)-8\\ &= 4(9m-2)\end{align*}$

We hebben dus $9^{k+1}-1$ deelbaar is door 4.

Conclusie:
Met inductie hebben we nu bewezen dat $9^n-1$ deelbaar is door 4.

Opdracht 3:
Bewijs dat $2^{2n+1}+4^n$ deelbaar is door 3.

Uitwerking:

Inductiebasis:
Voor $n=1$ hebben we $2^{2n+1}+4^n=2^3+4^1=8+4=12$ en dat is inderdaad deelbaar door 3.

Inductiestap:
De inductiehypothese is $2^{2k+1}+4^k=3m$ voor een geheel getal $m$ .
Voor $n=k+1$ krijgen we

$\begin{align*}2^{2(k+1)+1}+4^{k+1}&= 2^{2+2k+1}+4^{1+k} \\ &= 2^2\cdot 2^{2k+1}+4\cdot 4^k \\ &= 4(2^{2k+1}+4^k)\\ &\stackrel{IH}{=} 4(3m)\\ &=3(4m)\end{align*}$

De stelling klopt dus ook voor $n=k+1$ .

Conclusie:
Met inductie hebben we nu bewezen dat $2^{2n+1}+4^n$ deelbaar is door 3.

Pagina's: 123