Contextsommen – Pagina 6

De vergelijking van Arrhenius

Om een chemische reactie tot stand te brengen is een bepaalde hoeveelheid activeringsenergie nodig. De Zweedse scheikundige en Nobelprijswinnaar Svante Arrhenius heeft een vergelijking opgesteld die het verband aangeeft tussen het aantal reagerende moleculen, de temperatuur en de activeringsenergie:

$k=A\cdot e^{-\left(\frac{E}{8{,}314T}\right)}$

Hierin is:

$A$ de constante van Arrhenius;
$E$ de activeringsenergie (in joule per mol);
$T$ de temperatuur (in kelvin);
$k$ een getal dat aangeeft hoeveel moleculen er per seconde reageren.

De vergelijking van Arrhenius kun je herleiden tot de volgende vorm:

$E=8{,}314T\cdot \ln(\frac{A}{k})$

Opdracht 11: (4 punten)
Geef een herleiding waaruit dit blijkt.

Aanpak:

In de vorm waar we naartoe moeten omschrijven staat de $E$ voor het $=$ -teken. Je krijgt dan ook de eerste drie punten voor het omschrijven van $k=A\cdot e^{-\left(\frac{E}{8{,}314T}\right)}$ naar een vorm waar de $E$ alleen aan één kant van het $=$ -teken staat. Dit doe je door bij iedere stap een variabele weg te werken aan de kant waar de $E$ staat.

Het laatste punt is dan voor de rechterkant om te schrijven naar de juiste vorm. Hiervoor moeten we de $-\ln(\frac{k}{A})$ omschrijven naar $\ln(\frac{A}{k})$ . Dit doe je met behulp van de rekenregels $a\cdot \ln(b)=\ln(b^a)$ en $\left(\frac{a}{b})^{-1}=\frac{b}{a}$ .

Uitwerking met letters één voor één naar andere kant brengen:

$\frac{k}{A}=e^{-\left(\frac{E}{8{,}314T}}\right)$
$-\left(\frac{E}{8{,}314T}\right)=\ln\left(\frac{k}{A}\right)$
$E=-8{,}314T\ln\left(\frac{k}{A}\right)$
$E=8{,}314T\cdot -1\ln\left(\frac{k}{A}\right)$
$E=8{,}314T\ln\left((\frac{k}{A})^{-1}\right)$
$E=8{,}314T\ln\left(\frac{A}{k}\right)$

Uitwerking met eerst $ln$ van beide kanten nemen:

$k=A\cdot e^{-\left(\frac{E}{8{,}314T}\right)}$ volgt
$\ln(k)=\ln\left(A\cdot e^{-\left(\frac{E}{8{,}314T}\right)}\right)$
$\ln(k)=\ln(A) + \ln\left(e^{-\left(\frac{E}{8{,}314T}\right)}\right)$
$\ln(k)=\ln(A) -\left(\frac{E}{8{,}314T}\right)$
$\frac{E}{8{,}314T}=\ln(A)-\ln(k)$
$\frac{E}{8{,}314T}=\ln\left(\frac{A}{k}\right)$
$E=8{,}314T\cdot \ln\left(\frac{A}{k}\right)$

$E$ en $A$ hebben voor elk soort reactie een eigen waarde. De waarden van $E$ en $A$ hangen niet af van de temperatuur. Omdat ze niet direct te meten zijn, meet men bij een reactie de waarde van $k$ bij twee verschillende temperaturen. Hieruit zijn dan met de vergelijking van Arrhenius de bij die reactie horende waarden van $E$ en $A$ te berekenen.

Als voorbeeld bekijken we de chemische reactie waarbij stikstofdioxide wordt omgezet naar stikstofmonoxide en zuurstof.
Voor deze reactie is in een proef vastgesteld dat $k=2{,}7\cdot 10^{-2}$ als $T=500$ en dat $k=2{,}4\cdot 10^{-1}$ als $T=550$ .

Opdracht 12: (3 punten)
Bereken de waarde van $E$ van deze reactie. Geef je eindantwoord in de vorm $a\cdot 10^5$ , met $a$ afgerond op één decimaal.

Uitwerking:

Invullen van $k=2{,}7\cdot 10^{-2}$ en $T=500$ geeft $E=8{,}314\cdot 500\cdot \ln(\frac{A}{2{,}7\cdot 10^{-2}})$
Invullen van $k=2{,}4\cdot 10^{-1}$ en $T=550$ geeft
$E=8{,}314\cdot 550\cdot \ln\left(\frac{A}{2{,}4\cdot 10^{-1}}\right)$
Deze twee vergelijkingen samenvoegen geeft $8{,}314\cdot 500\cdot \ln(\frac{A}{2{,}7\cdot 10^{-2}})=8{,}314\cdot 550\cdot \ln(\frac{A}{2{,}4\cdot 10^{-1}})$ .
Voer in: $\begin{cases}Y_1=8{,}314\cdot 500\cdot \ln(\frac{x}{2{,}7\cdot 10^{-2}})\\ Y_2=8{,}314\cdot 550\cdot \ln(\frac{x}{2{,}4\cdot 10^{-1}})\end{cases}$ .
Optie snijpunt geeft $x\approx 739070754$ en $y\approx 99904$
Conclusie: De gevraagde waarde van $E$ is $1{,}0\cdot 10^5$

Pagina's: 1234567891011