Contextsommen – Pagina 7

Droogligtijd

In de Waddenzee varieert de waterhoogte in de loop van de tijd. Eb en vloed wisselen elkaar voortdurend af in een getijdencyclus met een periode van ongeveer 745 minuten. De waterhoogte in het oostelijke deel van de Waddenzee kan worden benaderd met de formule:

$h=125\cos\left(\frac{2\pi}{745}t)$

Hierbij is $h$ de waterhoogte in cm ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil) en is $t$ de tijd in minuten. Tijdstip $t=0$ komt overeen met een moment waarop $h=125$ .

In het oostelijk deel van de Waddenzee liggen verschillende zandbanken die gedurende een deel van een getijdencyclus droog komen te liggen. De droogligtijd $D$ is het aantal minuten per getijdencyclus dat een zandbank niet geheel onder water ligt. De droogligtijd hangt af van de hoogte van de zandbank: de hoogte van het hoogste punt van de zandbank ten opzichte van NAP.

In het oostelijk deel van de Waddenzee bevindt zich een zandbank met een hoogte van 40 cm boven NAP.
In figuur 1 is de grafiek van de waterhoogte $h$ getekend. Tevens is de hoogte van deze zandbank weergegeven. Gedurende één periode zijn er twee tijdstippen waarop de waterhoogte $h$ gelijk is aan de hoogte van de zandbank. We noemen deze tijdstippen $t_1$ en $t_2$ . Het verschil tussen $t_2$ en $t_1$ is de droogligtijd $D$ .

Opdracht 12: (4 punten)
Bereken de droogligtijd $D$ van deze zandbank. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.

Aanpak:

Een van de belangrijkste examentips die ik mee kan geven, is dat je op het begin van je centraal examen begint met het markeren van de woorden exact, algebraïsch en bewijs. Bij vragen waar geen van die woorden in de vraag staat, zet je groot GR in de kantlijn van de opgave. Als je dat doet, zie je bij een opgave als deze dat je de GR mag gebruiken, zodra je een vergelijking hebt.

Die vergelijking is in dit geval niet zo moeilijk. Er staat dat de hoogte 40 moet zijn. We moeten dus $h=40$ oftewel $125\cos\left(\frac{2\pi}{745}t)=40$ oplossen. Zodra we de oplossingen $t_1$ en $t_2$ hebben, krijgen we de droogligtijd door het verschil van de twee te nemen.

Uitwerking met GR:

$h=40$ geeft $125\cos(\frac{2\pi}{745}t)=40$
Voer in: $\begin{cases}Y_1=125\cos(\frac{2\pi}{745}t)\\ Y_2=40\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=147{,}628\ldots\vee x=597{,}371\ldots$
De droogligtijd is $D=597{,}371\ldots-147{,}628=449{,}7\ldots$
Conclusie: Het antwoord is 450 minuten.

Uitwerking algebraïsch:

$h=40$ geeft $125\cos(\frac{2\pi}{745}t)=40$
$\cos(\frac{2\pi}{745}t)=0{,}32$
$\frac{2\pi}{745}t=1{,}245\ldots +k\cdot 2\pi \vee \frac{2\pi}{745}t = -1{,}245\ldots + k\cdot 2\pi$ (de $1{,}245\ldots$ krijg je met $\cos^{-1}(0{,}32)$ )
$t=147{,}628\ldots+k\cdot 745 \vee t=-147{,}628+k\cdot 745$
De oplossingen op het interval zijn $t=147{,}628\ldots \vee t=597{,}371\ldots$
De droogligtijd is $D=597{,}371\ldots-147{,}628=449{,}7\ldots$
Conclusie: Het antwoord is 450 minuten.

Op drooggevallen zandbanken kunnen waddenvogels voedsel vinden. Daarom willen natuuronderzoekers het verband weten tussen de hoogte van de zandbanken en de tijd dat ze droog liggen.

Met $z$ duiden we de hoogte in cm van de zandbank aan, ten opzichte van NAP. Er geldt dan:

$z=125\cos(\pi-\frac{\pi}{745}D)$

Opdracht 13: (5 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

Bij dit soort vragen moet je vaak starten met de vorige formule (in dit geval $h=125\cos\left(\frac{2\pi}{745}t)$ ) en daar moeten we $z=125\cos(\pi-\frac{\pi}{745}D)$ uit afleiden. Het eerste wat mij opvalt, is dat de vorm van de formule bijna hetzelfde is, maar we in plaats van $h=$ een $z=$ hebben. Dit krijgen we voor elkaar met de zin “Gedurende één periode zijn er twee tijdstippen waarop de waterhoogte $h$ gelijk is aan de hoogte van de zandbank (dit is $z$ ). We noemen deze tijdstippen $t_1$ en $t_2$ .” Oftewel op tijdstip $t_1$ geldt $h=z$ . Dit invullen geeft de formule $z=125\cos\left(\frac{2\pi}{745}t_1)$ .

In de eindformule staat er in plaats van iets met $t_1$ iets met $D$ tussen haakjes. Schijnbaar moeten we een formule afleiden tussen $t_1$ en $D$ en die substitueren. Deze formule kun je afleiden met behulp van figuur 1. Een hint hiervoor: De afstand tussen $t_1$ en $\frac{745}{2}$ is $\frac{1}{2}D$ .

Uitwerking:

Op tijd $t=t_1$ geldt dat $h=z$ . Dit geeft $z=125\cos(\frac{2\pi}{745}t_1)$ .
In figuur 1 zien we dat $\frac{1}{2}D=\frac{745}{2}-t_1$ .
$t_1=\frac{745}{2}-\frac{1}{2}D$
Dit substitueren in $z=125\cos(\frac{2\pi}{745}t_1)$ geeft $z=125\cos(\frac{2\pi}{745}(\frac{745}{2}-\frac{1}{2}D))$
Haakjes uitwerken geeft $z=125\cos(\pi-\frac{\pi}{745}D)$ .

In figuur 2 is de grafiek van $z$ getekend voor waarden van $D$ tussen 0 en 745.

Ook kan een grafiek van het verband tussen $D$ en $z$ worden getekend waarbij $z$ op de horizontale as en $D$ op de verticale as wordt gekozen. Zie figuur 3.

In onderzoeksrapporten wordt, in plaats van de formule die bij figuur 3 hoort, ook wel de volgende derdegraads formule gebruikt:

$D=8\cdot 10^{-5}z^3+1{,}7z+372{,}5$

De bijbehorende grafiek staat in figuur 4.

De grafieken in figuur 3 en 4 lijken op elkaar. Zo verschillen de hellingen van beide grafieken in het punt $(0; 327{,}5)$ niet veel.

De helling in een punt op de grafiek van figuur 3 kan worden berekend met behulp van de helling in het overeenkomstige punt in figuur 2: er geldt dat het product van deze twee hellingen gelijk is aan 1.

Opdracht 14: (5 punten)
Bereken op algebraïsche wijze bij elk van de figuren 3 en 4 de helling van de grafiek in het punt $(0; 372{,}5)$ . Rond je antwoord af op één decimaal.

Aanpak:

In de tekst staat dat we de helling van figuur 3 in het punt $(0; 327{,}5)$ van figuur 3 kunnen bepalen met behulp van de helling in het overeenkomstige punt in figuur 2. Dat is het punt $(327{,}5,0)$ . Aangezien $z$ hoort bij deze grafiek, moeten we dus $z'(327{,}5)$ berekenen om de helling van figuur 2 te krijgen. Dit getal keer de helling van figuur 3 is 1. Als we dus 1 delen door de helling van figuur 2 krijgen we de helling van figuur 3.

Voor de helling van figuur 4 kunnen we direct differentiëren en $z=0$ invullen.

Uitwerking:

$z'(D)=-125\sin(\pi-\frac{\pi}{745}D)\cdot -\frac{\pi}{745}$
$z'(372{,}5)=-125\sin(\pi-\frac{\pi}{745}\cdot 372{,}5)\cdot -\frac{\pi}{745} = 0{,}527\ldots$
De helling van figuur 3 is dan $\frac{1}{0{,}527\ldots}=1{,}897\ldots$
De helling in figuur 3 is dus $1{,}9$ .
$D'(z)=24\cdot 10^{-5}z^2+1{,}7$
De helling van de grafiek van figuur 4 is $D'(0)=24\cdot 10^{-5}\cdot 0^2+1{,}7=1{,}7$

Pagina's: 1234567891011