Contextsommen – Pagina 4

Spots

Veel industriële en medische processen worden gestuurd door een digitale camera die gekoppeld is aan een computer. Hierbij is een gelijkmatige verlichting van het werkoppervlak van groot belang. Voor de belichting gebruikt men vaak een of meerdere kleine spots. Zie figuur 1.

Om de belichting goed te kunnen instellen is de hoogte van de spots boven het werkoppervlak variabel.

We bekijken eerst de situatie met één spot $S$ . Zie figuur 2.

De waargenomen verlichtingssterkte $E$ (in lux) in een punt $P$ van een horizontaal oppervlak kan berekend worden met de formule:

$E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi r^2}\cdot \cos(\alpha)$

Hierin is:

$I_{\text{spot}}$ een constante: de door de spot uitgezonden lichtstroom (in microlumen)
$r$ de afstand (in mm) tot de spot
$\alpha$ de hoek (in radialen) tussen de lichtstraal en de loodlijn in $P$ op het werkoppervlak

In figuur 2 is $d$ de horizontale afstand in mm van de spot tot $P$ en $x$ de verticale afstand in mm van de spot tot $P$ . Er geldt:

$E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot \frac{x}{(x^2+d^2)^{\frac{3}{2}}}$

Opdracht 3: (4 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

We hebben de formule $E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi r^2}\cdot \cos(\alpha)$ gekregen en moeten daar de formule $E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot \frac{x}{(x^2+d^2)^{\frac{3}{2}}}$ uit afleiden. Bij dit soort vragen helpt het vaak om te kijken welke letters je uit de oorspronkelijke formule moet wegwerken. Hier zijn dat de termen $\cos(\alpha)$ en $r$ . Daarom zijn de stappen die we moeten zetten:

Formules vinden voor $r$ en $\cos(\alpha)$ (met behulp van het plaatje).
Deze formules substitueren in $E$ .
De gekregen formule voor $E$ omschrijven naar de vorm die we moeten bewijzen.

Uitwerking:

Met Pythagoras geldt: $r^2=d^2+x^2$
$r=(d^2+x^2)^{\frac{1}{2}}$
Uit dezelfde driehoek volgt $\cos(\alpha)=\frac{x}{r}$ .
$E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi r^2}\cdot \cos(\alpha)$
$E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi r^2}\cdot \frac{x}{r}$
$E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot \frac{x}{r^3}$
$E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot \frac{x}{((d^2+x^2)^{\frac{1}{2}})^3}$
$E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot \frac{x}{(x^2+d^2)^{\frac{3}{2}}}$

We kiezen $d=10$ . Er is een waarde van $x$ waarvoor $E$ maximaal is.

Opdracht 4: (7 punten)
Bereken algebraïsch deze waarde van $x$ . Rond je antwoord af op één decimaal.

Aanpak:

De waarde van een maximum bereken je algebraïsch met behulp van $\text{afgeleide} =0$ . Hierbij hebben we geleerd dat de afgeleide van $\text{constante} \cdot f(x)$ gelijk is aan $\text{constante} \cdot f'(x)$ . In de functie $E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot \frac{x}{(x^2+d^2)^{\frac{3}{2}}}$ is $\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}$ zo’n constante. In onze afgeleide blijft die dus staan. De rest van de functie kun je differentiëren met de quotiëntregel.

Zodra je de afgeleide bepaald hebt, moet je een vergelijking oplossen. Hiervoor heb je de volgende stukjes kennis nodig:

$\frac{t}{n}=0$ geeft $t=0$ , want een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is.
Vergelijkingen waarin in meerdere termen een $x$ voorkomt, los je vaak op door die om te schrijven naar de vorm $A\cdot B=0$ , $A\cdot B=A\cdot C$ of $A\cdot B=A$ . Dit krijg je voor elkaar door de term die vaker voorkomt buiten haakjes te halen.

Uitwerking met quotiëntregel:

$E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot \frac{x}{(x^2+100)^{\frac{3}{2}}}$
$E'=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot \frac{(x^2+100)^{\frac{3}{2}}\cdot 1 - x\cdot \frac{3}{2}(x^2+100)^{\frac{1}{2}}\cdot 2x}{((x^2+100)^{\frac{3}{2}})^2}$
$E'=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot \frac{(x^2+100)^{\frac{3}{2}}\cdot 1 - 3x^2(x^2+100)^{\frac{1}{2}}}{((x^2+100)^{\frac{3}{2}})^2}$
$E'=0$ geeft $(x^2+100)^{\frac{3}{2}}-3x^2(x^2+100)^{\frac{1}{2}}=0$ , want alleen als de teller nul is, kan er nul uit $E'$ komen.
$(x^2+100)^{\frac{1}{2}}$ buiten haakjes halen geeft:
$(x^2+100)^{\frac{1}{2}}((x^2+100)-3x^2)=0$
$(x^2+100)^{\frac{1}{2}}=0\vee x^2+100-3x^2=0$
$x^2+100=0\vee -2x^2=-100$
$x^2=-100\vee x^2=50$
$x=\sqrt{50}$ (want $x=-\sqrt{50}$ voldoet niet, omdat $x>0$ )
Afgerond op 1 decimaal is het antwoord $7{,}1$ mm.

Uitwerking met productregel:

$E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot \frac{x}{(x^2+100)^{\frac{3}{2}}}$
$E=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot x (x^2+100)^{-\frac{3}{2}}$
$E'=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot (x^2+100)^{-\frac{3}{2}} + \frac{I_{\text{spot}}}{4\pi} \cdot x \cdot -\frac{3}{2} (x^2+100)^{-\frac{5}{2}}\cdot 2x$
$E'=\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot (x^2+100)^{-\frac{3}{2}} + \frac{I_{\text{spot}}}{4\pi} \cdot -3x^2 (x^2+100)^{-\frac{5}{2}}$
$E'=0$ geeft $\frac{I_{\text{spot}}}{4\pi}\cdot (x^2+100)^{-\frac{3}{2}} + \frac{I_{\text{spot}}}{4\pi} \cdot -3x^2 (x^2+100)^{-\frac{5}{2}}=0$
$(x^2+100)^{-\frac{3}{2}} -3x^2 (x^2+100)^{-\frac{5}{2}}=0$
Vermenigvuldigen met $(x^2+100)^{\frac{5}{2}}$ geeft
$(x^2+100)^1-3x^2=0$
$x^2+100-3x^2=0$
$-2x^2=-100$
$x^2=50$
$x=\sqrt{50}$ (want $x=-\sqrt{50}$ voldoet niet, omdat $x>0$ )
Afgerond op 1 decimaal is het antwoord $7{,}1$ mm.

In de rest van deze opgave bekijken we de situatie met twee identieke spots. Voor elke spot geldt: $I_{\text{spot}}=500$ . De spots hebben horizontaal een onderlinge afstand van 40 mm en schijnen recht naar beneden. De verticale afstand van de spots tot het werkoppervlak is 25 mm. Zie figuur 3. Hierin is ook $d$ aangegeven, de horizontale afstand in mm van de linker spot tot $P$ .

De totale verlichtingssterkte $E_{\text{totaal}}$ in een punt op het werkoppervlak is de som van de waargenomen verlichtingssterktes in dat punt van beide spots.

Het deel van het werkoppervlak tussen de spots wordt voldoende gelijkmatig belicht als de laagste waarde van $E_{\text{totaal}$ in dat deel minstens 80% van de hoogste waarde van $E_{\text{totaal}$ bedraagt.

Opdracht 5: (6 punten)
Onderzoek of bij de ingestelde verticale afstand van 25 mm het deel van het werkoppervlak tussen de spots voldoende gelijkmatig belicht wordt.

Aanpak:

In het verhaaltje boven de vraag staat dat $E_{\text{totaal}}$ de som is van de verlichtingssterktes van beide spots. Om de formule van $E_{\text{totaal}}$ te krijgen, moeten we dus drie dingen doen:

We moeten de verlichtingssterkte van de linkerlamp berekenen. Hiervoor moeten we de $I=500$ en de $x=25$ uit het verhaal invullen.
We moeten de verlichtingssterkte van de rechterlamp berekenen. Deze lijkt op de formule van de linkerlamp. Alleen is de horizontale afstand nu juist $40-d$ .
De formule voor $E_{\text{totaal}}$ krijgen we door de formules voor $E$ van de linkerlamp en de rechterlamp op te tellen.

Nu we de formule voor $E_{\text{totaal}}$ hebben, moeten we de minimale en maximale waarde weten. Er staat geen exact, algebraïsch of bewijs in de opgave. We mogen deze maxima en minima dus met de grafische rekenmachine doen.

Tot slot krijgen we het percentage door $\frac{\text{minimale E}}{\text{maximale E}}\cdot 100\%$ uit te rekenen. Als dit groter dan 80% is, is je conclusie dat het voldoende belicht is. Als het kleiner dan 80% is, is de conclusie dat het niet voldoende belicht is.

Uitwerking:

De hoeveelheid licht die de linkerlamp geeft, is $E_{\text{links}}=\frac{500}{4\pi}\cdot \frac{25}{(25^2+d^2)^{\frac{3}{2}}}$
$E_{\text{links}}=\frac{500}{4\pi}\cdot \frac{25}{(625+d^2)^{\frac{3}{2}}}$
De horizontale afstand vanaf de rechterlamp is $40-d$ .
De hoeveelheid licht die de rechterlamp geeft, is dus:
$E_{\text{rechts}}=\frac{500}{4\pi}\cdot \frac{25}{(625+(40-d)^2)^{\frac{3}{2}}}$
De totale hoeveelheid licht is $E_{\text{totaal}}=\frac{500}{4\pi}\cdot \frac{25}{(625+(40-d)^2)^{\frac{3}{2}}}+\frac{500}{4\pi}\cdot \frac{25}{(625+d^2)^{\frac{3}{2}}}$
Voer in: $Y_1=\frac{500}{4\pi}\cdot \frac{25}{(625+(40-x)^2)^{\frac{3}{2}}}+\frac{500}{4\pi}\cdot \frac{25}{(625+x^2)^{\frac{3}{2}}}$
Optie maximum geeft $y=0{,}073626\ldots$
Optie minimum geeft $y=0{,}0606239\ldots$
Het minimum is $\frac{0{,}0606239\ldots}{0{,}073626\ldots}\cdot 100\%\approx 82{,}3\%$ van het maximum.
Conclusie: Dit is meer dan 80% en werkoppervlak is dus voldoende gelijkmatig belicht.

Pagina's: 1234567891011