Contextsommen – Pagina 5

Straal van een waterstraal

In deze opgave kijken we naar water dat uit een cirkelvormige kraanopening stroomt.

In figuur 1 is de vorm van de waterstraal getekend. Op elke hoogte is de horizontale doorsnede van de waterstraal een cirkel. De straal van die cirkel wordt naar beneden toe steeds kleiner.

Op hoogte $h$ heeft de horizontale doorsnede straal $r$ en is de stroomsnelheid van het water $v$ .
De kraanopening heeft straal $r_0$ en bevindt zich op hoogte $h_0$ .
De snelheid waarmee het water uit de kraan stroomt, is $v_0$ .
Het hoogteverschil $h_0-h$ geven we aan met $x$ .

In de formules van deze opgave is meter de eenheid van lengte en meter per seconde de eenheid van snelheid.

Uit de (natuurkundige) Wet van behoud van energie volgt:

$v_0^{\,2}+2gh_0=v^2+2gh\quad\quad \text{ (1)}$

Hierin is $g$ de valversnelling van $9{,}81 \text{m/s}^2$ .

De hoeveelheid water die per seconde op een bepaalde hoogte voorbijstroomt, is voor elke hoogte gelijk. Hieruit is af te leiden:

$r_0^{\,2}\cdot v_0=r^2\cdot v\quad\quad\text{ (2)}$

Door formule 1 en formule 2 te combineren kan worden aangetoond:

$r=r_0\cdot \sqrt[4]{\frac{v_0^{\,2}}{v_0^{\,2}+2gx}}\quad\quad\text{ (3)}$

Opdracht 8: (5 punten)
Toon door formule 1 en formule 2 te combineren aan dat formule 3 juist is.

Aanpak:

Altijd als ik formules moet combineren, bekijk ik als eerste welke variabelen uit de beginvergelijkingen niet in mijn eindformule staan. Hier zijn dat $h$ , $h_0$ en $v$ . Vaak heb je de vraag al voor een groot deel opgelost als je deze variabelen weg hebt kunnen werken. Hier doen we dat als volgt:

In de tekst staat dat $x=h_0-h$ . We willen de $h-h_0$ dus buiten haakjes halen en dan vervangen door $x$ .
De variabele $v$ komt in beide formules voor. We willen daarom een van de formules omschrijven naar $v=\text{iets}$ en die dan substitueren in de andere formule. Aangezien $v$ in formule 2 niet in het kwadraat vrijkomt, is het het prettigste om hem in formule 2 vrij te maken en dan in formule 1 in te vullen.

Let er tot slot bij dit soort vragen verder op dat aangezien het antwoord al weggegeven is dat je laatste stap klein moet zijn. Als nakijker moet ik kunnen zien dat jij die stap hebt bedacht en niet hebt overgeschreven.

Uitwerking met formule 2 in formule 1 substitueren:

Formule 2 wordt $v=\frac{r_0^{\,2}\cdot v_0}{r^2}$
Dit substitueren in formule 1 geeft $v_0^{\,2}+2gh_0=(\frac{r_0^{\,2}\cdot v_0}{r^2})^2+2gh$
$v_0^{\,2}+2gh_0-2gh=(\frac{r_0^{\,2}\cdot v_0}{r^2})^2$
$v_0^{\,2}+2g(h_0-h)=\frac{r_0^{\,4}\cdot v_0^{\,2}}{r^4}$
$v_0^{\,2}+2gx=\frac{r_0^{\,4}\cdot v_0^{\,2}}{r^4}$
Met de rekenregel dat $A=\frac{B}{C}$ hetzelfde zegt als $C=\frac{B}{A}$ wordt dit: $r^4=\frac{r_0^{\,4}\cdot v_0^{\,2}}{v_0^{\,2}+2gx}$
$r^4=r_0^{\,4}\cdot \frac{v_0^{\,2}}{v_0^{\,2}+2gx}$
$r=\sqrt[4]{r_0^{\,4}}\cdot \sqrt[4]{\frac{v_0^{\,2}}{v_0^{\,2}+2gx}}$
$r=r_0\cdot \sqrt[4]{\frac{v_0^{\,2}}{v_0^{\,2}+2gx}}$

Uitwerking met formule 1 in formule 2 substitueren:

Formule 1 wordt $v_0^{\,2}+2gh_0-2gh=v^2$
$v_0^{\,2}+2g(h_0-h)=v^2$
$v_0^{\,2}+2gx=v^2$
$v=\sqrt{v_0^{\,2}+2gx}$
Dit substitueren in formule 2 geeft $r_0^{\,2}\cdot v_0=r^2\cdot \sqrt{v_0^{\,2}+2gx}$ .
$r^2\cdot \sqrt{v_0^{\,2}+2gx}=r_0^{\,2}\cdot v_0$
$r^2=r_0^2\cdot \frac{v_0}{\sqrt{v_0^{\,2}+2gx}}$
$r^4=r_0^{\,4}\cdot \frac{v_0^{\,2}}{v_0^{\,2}+2gx}$
$r=\sqrt[4]{r_0^{\,4}}\cdot \sqrt[4]{\frac{v_0^{\,2}}{v_0^{\,2}+2gx}}$
$r=r_0\cdot \sqrt[4]{\frac{v_0^{\,2}}{v_0^{\,2}+2gx}}$

Een bepaalde kraan heeft een opening met een diameter van 2 cm. De opening bevindt zich 30 cm boven een oppervlak. De kraan wordt zo ver opengedraaid dat $v_0=0{,}5 \text{m/s}$ .

In figuur 2 is voor deze waterkraan de grafiek getekend die het verband weergeeft tussen het hoogteverschil $x$ en de straal $r$ .

Als deze grafiek wordt gewenteld om de horizontale $x$ -as, ontstaat de vorm de waterstraal (90 graden linksom gedraaid).

De inhoud van het omwentelingslichaam is gelijk aan de hoeveelheid water waaruit de waterstraal op een bepaald moment bestaat.

Opdracht 9: (5 punten)
Bereken deze hoeveelheid. Rond je antwoord af op een geheel aantal $\text{cm}^3$ .

Aanpak:

In de vorige opdracht moesten we formule 3 aantonen. Dat is een hint dat je bij de volgende opdracht iets met opdracht 3 moet doen. Als je goed leest, zie je ook dat het precies deze functie is die gewenteld wordt om de $x$ -as. We moeten dus $\pi\int r^2 \text{ dx}$ berekenen. Om deze integraal te berekenen, moeten we het volgende doen:

De linkergrens en rechtergrens berekenen. Dit kun je uit de grafiek of de tekst halen.
We moeten de letters $g$ , $r_0$ en $v_0$ invullen uit de tekst.
We berekenen dan de integraal met de GR (want er staat geen exact, algebraïsch of bewijs in de vraag).

Tot slot moeten we de eenheid weer terugzetten naar meters. Van $\text{cm}$ naar $m$ is een factor $100$ . Dus van $\text{cm}^3$ naar $\text{m}^3$ is een factor $100^3=10^6$ .

Uitwerking:

$\text{Inhoud}=\pi \int_0^{0,3} r^2 \text{ dx}$
$\text{Inhoud}=\pi \int_0^{0,3} \left(r_0\cdot \sqrt[4]{\frac{v_0^{\,2}}{v_0^{\,2}+2gx}}\right)^2 \text{ dx}$
De diameter van de kraan is 2 cm. De straal is 1 cm en dat geeft dus $r_0=0{,}01$ meter. Dit, $v_0=0{,}5$ en $g=9{,}81$ invullen geeft:
$\text{Inhoud}=\pi \int_0^{0,3} \left(0{,}01\cdot \sqrt[4]{\frac{0{,}5^{\,2}}{0{,}5^{\,2}+2\cdot 9{,}81x}}\right)^2 \text{ dx}$
Voer in: $\pi \int_0^{0,3} \left(0{,}01\cdot \sqrt[4]{\frac{0{,}5^{\,2}}{0{,}5^{\,2}+2\cdot 9{,}81x}}\right)^2 \text{ dx}$
Dat geeft $\text{Inhoud}=3{,}165\ldots \cdot 10 ^{-5}$
Van $\text{m}^3$ naar $\text{cm}^3$ is een factor $100^3=10^6$ .
De inhoud is dus $\text{Inhoud}=3{,}165\ldots 10^{-5}\cdot 10^6\approx 32 \text{ cm}^3$
Conclusie: De hoeveelheid is $32 \text{ cm}^3$ .

Pagina's: 1234567891011