Contextsommen – Pagina 8

Stuiterende bal

Een bal wordt vanaf een bepaalde hoogte boven een vloer losgelaten en begint vervolgens te stuiteren. In deze opgave bekijken we een wiskundig model van deze situatie.

Op het moment van loslaten bevindt de onderkant van de bal zich $h_0$ meter boven de vloer. De maximale hoogte van de onderkant van de bal tussen twee keer stuiteren noemen we de stuithoogte. De stuithoogte na de eerste keer stuiteren noemen we $h_1$ , die na de tweede keer stuiteren $h_2$ , enzovoorts.

Aan de linkerkant van figuur 1 is de bal getekend op verschillende stuithoogtes. Rechts daarvan is de hoogte $h$ van de stuiterende bal (in meters) uitgezet tegen de tijd $t$ (in seconden).

In deze opgave gaan we ervan uit dat de verhouding tussen twee opeenvolgende stuithoogtes constant is, dus $h_1:h_0$ is gelijk aan $h_2:h_1$ , enzovoorts. Deze verhoudingen noemen we $a$ . Voor de stuithoogte na $n$ keer stuiteren geldt dan:

$h_n=h_0\cdot a^n$

De waarde van $a$ hangt af van het soort bal.

Opdracht 8: (3 punten)
Bereken de waarde van $a$ voor een bal waarvan na 7 keer stuiteren de stuithoogte 5 keer zo klein is als de hoogte waarop de bal is losgelaten. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Aanpak:

Bij contextsommen moet je regelmatig zinnen omzetten naar een wiskundigere notatie. Hier moet dat met de zin “dat de stuithoogte na 7 keer stuiteren 5 keer zo klein is als de hoogte waarop de bal is losgetalen”. Je moet daar uithalen dat $h_7=\frac{h_0}{5}$ . Bovendien hebben we met de formule dat $h_7=h_0\cdot a^n$ . Deze twee formules kun je combineren tot een vergelijking waarmee je $a$ kunt oplossen. Die vergelijking mag je evenuteel zelfs met de GR oplossen.

Uitwerking algebraïsch:

$h_7=h_0\cdot a^7$ combineren met $h_7=\frac{1}{5}h_0$ geeft $h_0\cdot a^7=\frac{1}{5}h_0$
$a^7=\frac{1}{5}$

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
a=\sqrt[7]{\frac{1}{5}

*** Error message:
File ended while scanning use of \next@.
Emergency stop.

Afgerond op twee decimalen geeft dit $a=0{,}79$ .

Uitwerking met GR:

$h_7=h_0\cdot a^7$ combineren met $h_7=\frac{1}{5}h_0$ geeft $h_0\cdot a^7=\frac{1}{5}h_0$
$a^7=\frac{1}{5}$
Voer in $\begin{cases}Y_1=x^7\\ Y_2=\frac{1}{5}\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=0{,}7945\ldots$ .
Afgerond op twee decimalen geeft dit $a=0{,}79$ .

De hoogte van de onderkant van de bal tussen twee opeenvolgende keren stuiteren is een functie van de tijd. De grafiek van deze functie is een bergparabool.

De tijd in seconden tussen de $n$ -de en de $(n+1)$ -ste keer stuiteren noemen we de stuittijd $T_n$ . In figuur 2 zijn drie stuittijden aangegeven.

De stuittijd $T_n$ kan worden uitgedrukt in de stuithoogte $h_n$ . Er geldt:

$T_n=2\cdot \sqrt{\frac{h_n}{4{,}9}}$

Een bal wordt losgelaten vanaf hoogte $h_0$ . De stuittijd $T_1$ is $1{,}11$ seconden en de stuittijd $T_4$ is $0{,}68$ seconden.

Opdracht 9: (5 punten)
Bereken $h_0$ . Geef je antwoord in decimeters nauwkeurig.

Aanpak:

Als je niet uit een vraag komt, helpt het om de gegevens en de formules die je hebt voor jezelf op een rijtje te zetten. Ik zou in dit geval dit noteren:

Gegevens: $T_1=1{,}11$ en $T_4=0{,}68$
Formules: $T_n=2\cdot \sqrt{\frac{h_n}{4{,}9}}$ en $h_n=h_0\cdot a^n$
Doel: $h_0$ berekenen

Vervolgens stel ik mijzelf de vraag wat ik met de formules kan berekenen met deze gegevens. In dit geval kunnen we met $T_n=2\cdot \sqrt{\frac{h_n}{4{,}9}}$ de waarden $h_1$ en $h_4$ berekenen uit $T_1=1{,}11$ en $T_4=0{,}68$ .

Zodra we $h_1$ en $h_4$ hebben, zullen we met de formule $h_n=h_0\cdot a^n$ de waarde van $h_0$ wel kunnen berekenen (het is een exponentiële formule en twee punten is dan altijd genoeg om de formule op te stellen).

Uitwerking met GR:

$T_1=1{,}11$ invullen in $T_n=2\cdot \sqrt{\frac{h_n}{4{,}9}}$ geeft $1{,}11=2\cdot \sqrt{\frac{h_1}{4{,}9}}$
Voer in $\begin{cases}Y_1=1{,}11\\ Y_2=2\cdot \sqrt{\frac{x}{4{,}9}}\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=1,509\ldots$ en dus $h_1=1{,}509\ldots$
$T_4=0{,}68$ invullen in $T_n=2\cdot \sqrt{\frac{h_n}{4{,}9}}$ geeft $0{,}68=2\cdot \sqrt{\frac{h_4}{4{,}9}}$
Voer in $\begin{cases}Y_1=0{,}68\\ Y_2=2\cdot \sqrt{\frac{x}{4{,}9}}\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=0,566\ldots$ en dus $h_4=0{,}566\ldots$
Er geldt $h_4=h_1\cdot a^3$
Dus $0{,}566\ldots=1,509\ldots\cdot a^3$
Voer in $\begin{cases}Y_1=0{,}566\ldots\\ Y_2 =1{,}509\ldots\cdot x^3\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=0{,}721\ldots$ , dus $a=0{,}721\ldots$
$h_1=h_0\cdot a$ geeft $h_0=\frac{h_1}{a}=\frac{1{,}509\ldots}{0{,}721\ldots}=2{,}092\ldots$ .
Conclusie: In decimeters nauwkeurig is dit $2{,}1$ meter (of 21 decimeter).

Uitwerking algebraïsch:

$T_1=1{,}11$ invullen in $T_n=2\cdot \sqrt{\frac{h_n}{4{,}9}}$ geeft $1{,}11=2\cdot \sqrt{\frac{h_1}{4{,}9}}$
$0{,}555=\sqrt{\frac{h_1}{4{,}9}}$
$\frac{h_1}{4{,}9}=0{,}308\ldots$
$h_1=1{,}509\ldots$
$T_4=0{,}68$ invullen in $T_n=2\cdot \sqrt{\frac{h_n}{4{,}9}}$ geeft $0{,}68=2\cdot \sqrt{\frac{h_4}{4{,}9}}$
$0{,}34=\sqrt{\frac{h_4}{4{,}9}}$
$\frac{h_4}{4{,}9}=0{,}1156\ldots$
$h_4=0{,}566\ldots$
Er geldt $h_4=h_1\cdot a^3$
Dus $0{,}566\ldots=1{,}509\ldots\cdot a^3$
$a^3=0{,}375\ldots$
$a=0{,}721\ldots$
$h_1=h_0\cdot a$ geeft $h_0=\frac{h_1}{a}=\frac{1{,}509\ldots}{0{,}721\ldots}=2{,}092\ldots$ .
Conclusie: In decimeters nauwkeurig is dit $2{,}1$ meter (of 21 decimeter).

Pagina's: 1234567891011