Contextsommen – Pagina 9

Ankerketting

Een schip ligt op zee voor anker. Door stroming en wind trekt het schip aan de ankerketting. Hierdoor en door het eigen gewicht van de ankerketting neemt de ketting een vorm aan die bekend staat als een kettinglijn. In de figuur is deze situatie schematisch in een assenstelsel weergegeven. De $x$ -as valt samen met de horizontale zeebodem, waarop het anker ligt.

De oorsprong $O$ van het assenstelsel is gekozen in het punt waar de ankerketting aan het anker is bevestigd. Aan het schip zit de ankerketting vast in punt $A$ . We gaan ervan uit dat de ankerketting daar direct het water in gaat.
Het punt $A$ bevindt zich 96 meter rechts van de $y$ -as.

Een kettinglijn waarvan het laagste punt door $O$ gaat, kan worden beschouwd als een deel van de grafiek van de functie $f$ gegeven door:

$f(x)=\frac{1}{2a}\cdot\left(e^{ax}+e^{-ax}-2\right)$ , met $a>0$

Voor de functie $f$ geldt:

$1+(f'(x))^2=\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2$

Opdracht 8: (6 punten)
Bewijs deze gelijkheid.

Aanpak:

De truc bij dit soort vragen is om zowel de haakjes van de linkerkant van de vergelijking (in dit geval $1+(f'(x))^2$ ) als van de rechterkant van de vergelijking (hier $\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2$ ) uit te werken. Als daar bij allebei hetzelfde uitkomt, kun je concluderen dat de gelijkheid geldt.

Uitwerking met beide kanten los uitwerken:

$f(x)=\frac{1}{2a}e^{ax}+\frac{1}{2a}e^{-ax}- \frac{1}{2a}\cdot 2$
$f'(x)=\frac{1}{2a}e^{ax}\cdot a+\frac{1}{2a}e^{-ax}\cdot -a$
$f'(x)=\frac{1}{2}e^{ax}-\frac{1}{2}e^{-ax}$
$1+(f'(x))^2=1+(\frac{1}{2}e^{ax}-\frac{1}{2}e^{-ax})^2$
Haakjes uitwerken geeft:
$1+(f'(x))^2=1+(\frac{1}{2}e^{ax})^2-2\cdot \frac{1}{2}e^{ax}\cdot \frac{1}{2}e^{-ax}+(\frac{1}{2}e^{-ax})^2$
$1+(f'(x))^2=1+\frac{1}{4}e^{2ax}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}e^{-2ax}$
$1+(f'(x))^2=\frac{1}{4}e^{2ax}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}e^{-2ax}$
Als we de haakjes uitwerken van $\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2$ krijgen we:
$\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2=(\frac{1}{2}e^{ax})^2+2\cdot \frac{1}{2}e^{ax}\cdot \frac{1}{2}e^{-ax}+(\frac{1}{2}e^{-ax})^2$
$\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2=\frac{1}{4}e^{2ax}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}e^{-2ax}$
Aangezien zowel $1+(f'(x))^2$ als $\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2$ gelijk is aan $\frac{1}{4}e^{2ax}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}e^{-2ax}$ geldt de gelijkheid $1+(f'(x))^2=\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2$ .

Uitwerking met oplossen als vergelijking:

$f(x)=\frac{1}{2a}e^{ax}+\frac{1}{2a}e^{-ax}- \frac{1}{2a}\cdot 2$
$f'(x)=\frac{1}{2a}e^{ax}\cdot a+\frac{1}{2a}e^{-ax}\cdot -a$
$f'(x)=\frac{1}{2}e^{ax}-\frac{1}{2}e^{-ax}$
$1+(f'(x))^2=\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2$ geeft
$1+(\frac{1}{2}e^{ax}-\frac{1}{2}e^{-ax})^2=\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2$
Haakjes uitwerken geeft:
$1+(\frac{1}{2}e^{ax})^2-2\cdot \frac{1}{2}e^{ax}\cdot \frac{1}{2}e^{-ax}+(\frac{1}{2}e^{-ax})^2=(\frac{1}{2}e^{ax})^2+2\cdot \frac{1}{2}e^{ax}\cdot \frac{1}{2}e^{-ax}+(\frac{1}{2}e^{-ax})^2$
$1+\frac{1}{4}e^{2ax}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}e^{-2ax}=\frac{1}{4}e^{2ax}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}e^{-2ax}$
$\frac{1}{4}e^{2ax}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}e^{-2ax}=\frac{1}{4}e^{2ax}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}e^{-2ax}$
Conclusie: Aan beide kanten van het gelijkheidsteken staat hetzelfde. De gelijkheid is dus waar voor iedere waarde van $x$ .

Voor de ankerketting in de figuur geldt $a=\frac{1}{140}$ en $0\leq x\leq 96$ . Hierin zijn $x$ en $f(x)$ in meters. Door golven en wind kan een schip flinke bewegingen maken. Bij een korte ankerketting kan dan het anker losraken. Om dit te voorkomen geeft men bij het uitwerpen van een anker de ankerketting veel lengte. Hiervoor hanteert men in de scheepvaart de vuistregel dat de lengte van de ankerketting tussen anker en schip ten minste driemaal de waterdiepte moet zijn.

Opdracht 9: (5 punten)
Onderzoek of de ankerketting in de figuur aan deze vuistregel voldoet.

Eratum: (formule booglengte)

Op het examen kreeg je de alinea hieronder er als eratum bij.

De lengte $L$ van het deel van de grafiek van een functie $f$ tussen de punten $(a,f(a))$ en $(b,f(b))$ kan worden berekend met de volgende formule:

$L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2} \text{ dx}$

Aanpak:

Uit de opgave halen we dat we twee waarden moeten vergelijken. Dat zijn de lengte van de ankerketting en driemaal de waterdiepte. Die waarden moeten we dus eerst berekenen.

Voor de lengte van de ankerketting kunnen we de formule $L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2} \text{ dx}$ gebruiken die in de eratum erbij gegeven is. Op het eratum staat ook dat $a$ de linkergrens en $b$ de rechtergrens is. Als we deze invullen en de $a=\frac{1}{140}$ uit de opgave invullen, kunnen we de integraal verder met de rekenmachine berekenen, want er staat geen exact, algebraïsch en exact in de opgave.

De hoogte van de ankerketting is gelijk aan het $y$ -coördinaat van de boot. Die kunnen we dus berekenen met $f(96)$ . Vervolgens kunnen we de lengte van de ankerketting vergelijken met drie keer de hoogte van de boot om de vraag te beantwoorden.

Uitwerking met GR:

$f(x)=\frac{1}{2\cdot 140}\cdot (e^{\frac{1}{140}x}+e^{-\frac{1}{140}x}-2)$
$f(96)=34{,}22\ldots$
$\text{Lengte} = \int_0^{96}\sqrt{1+(f'(x))^2} \text{ dx}$
$\text{Lengte} = \int_0^{96}\sqrt{\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2} \text{ dx}$
$\text{Lengte} = \int_0^{96}(\frac{1}{2}e^{\frac{1}{140}x}+\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{140}x}) \text{ dx}$
Voer in: $\int_0^{96}(\frac{1}{2}e^{\frac{1}{140}x}+\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{140}x}) \text{ dx}=103{,}7\ldots$
$3\cdot 34{,}22\ldots = 102{,}6\ldots$ is minder dan de lengte van het anker.
Conclusie: De ankerketting voldoet aan de vuistregel.

Uitwerking algebraïsch:

$f(x)=\frac{1}{2\cdot 140}\cdot (e^{\frac{1}{140}x}+e^{-\frac{1}{140}x}-2)$
$f(96)=34{,}22\ldots$
$\text{Lengte} = \int_0^{96}\sqrt{1+(f'(x))^2} \text{ dx}$
$\text{Lengte} = \int_0^{96}\sqrt{\left(\frac{1}{2}e^{ax}+\frac{1}{2}e^{-ax}\right)^2} \text{ dx}$
$\text{Lengte} = \int_0^{96}(\frac{1}{2}e^{\frac{1}{140}x}+\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{140}x}) \text{ dx}$
$\text{Lengte} = \left[\frac{1}{2}e^{\frac{1}{140}x}\cdot 140+\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{140}x}\cdot -140\right]_0^{96}$
$\text{Lengte} =\frac{1}{2}e^{\frac{1}{140}\cdot 96}\cdot 140+\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{140}\cdot 96}\cdot -140 - (\frac{1}{2}e^{\frac{1}{140}\cdot 0}\cdot 140+\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{140}\cdot 0}\cdot -140)$
$\text{Lengte} =\frac{1}{2}e^{\frac{1}{140}\cdot 96}\cdot 140+\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{140}\cdot 96}\cdot -140 - (\frac{1}{2}e^{\frac{1}{140}\cdot 0}\cdot 140+\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{140}\cdot 0}\cdot -140)$
$\text{Lengte} =103{,}7\ldots$
$3\cdot 34{,}22\ldots = 102{,}6\ldots$ is minder dan de lengte van het anker.
Conclusie: De ankerketting voldoet aan de vuistregel.

Pagina's: 1234567891011