Contextsommen – Pagina 10

Over de muur

In vroeger tijden probeerde men met een katapult kogels over vestingmuren te slingeren. In deze opgave bekijken we een katapult met een draaibare hefboom. Het linker deel van de hefboom is 4 meter lang. Op het einde daarvan ligt een kogel met middelpunt $P$ . Aan het einde van het rechter deel van de hefboom zit een contragewicht $Q$ . In het begin wordt de hefboom horizontaal gehouden door een touw tussen hefboom en de grond. De hoogte van de hefboom is dan 2 meter.

In figuur 1 is deze beginstand getekend in een assenstelsel met oorsprong $O$ op de grond. Punt $P$ heeft dan coördinaten $(-4,2)$ .

Nadat het touw wordt doorgesneden, gaat de hefboom draaien in de richting van de wijzers van de klok, tot deze draaiing door een verstelbaar stopblok wordt gestopt en de kogel wegvliegt. De draaihoek in de eindstand wordt de stophoek $\alpha$ genoemd, met $0<\alpha<\frac{1}{2}\pi$ radialen. In figuur 2 is de eindstand getekend.

Opdracht 10: (2 punten)
Druk de coördinaten van $P$ uit in de stophoek $\alpha$ op het moment dat de eindstand wordt bereikt.

Aanpak:

Soms helpt het om voor jezelf om even een plaatje te maken waarin je de lengtes in de driehoek zet. In dit geval kun je daar het volgende plaatje bij maken:

Wat je dan nog moet doen, is hier het $x$ – en $y$ -coördinaat van $P$ uithalen. Hierbij moet je er bij het $x$ -coördinaat aandenken dat $P$ links van de $y$ -as zit.

Uitwerking:

Er is een rechthoekige driehoek met schuine zijde $4$ en hoek $\alpha$ .
De lengte van de horizontale zijde in deze driehoek is $4\cos(\alpha)$ .
Het $x$ -coördinaat is dus $x_P=-4\cos(\alpha)$
De verticale lengte in deze driehoek is $4\sin(\alpha)$ .
Het $y$ -coördinaat is dus $y_P=2+4\sin(\alpha)$ .

Als de hefboom bij stophoek $\alpha$ tot stilstand komt, verlaat de kogel de hefboom en vliegt vervolgens door de lucht. De baan die $P$ dan beschrijft is bij benadering gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:

$\begin{cases}x(t)=20t\cdot \sin(\alpha)\cdot \sqrt{\sin(\alpha)}-4\cos(\alpha)\\ y(t)=-5t^2+2+20t\cdot \cos(\alpha)\cdot \sqrt{\sin(\alpha)}+4\sin(\alpha)\end{cases}$

Hierin is $t$ de tijd in seconden vanaf het moment dat de kogel de hefboom verlaat. Verder zijn $x(t)$ en $y(t)$ in meter en is $\alpha$ in radialen.

Voor $y_{\text{top}}$ , de $y$ -coördinaat van het hoogste punt van de baan van $P$ , geldt:

$y_{\text{top}}=2+24\sin(\alpha)-20\sin^3(\alpha)$

Opdracht 11: (5 punten)
Bewijs dat de formule voor $y_{\text{top}}$ volgt uit de bewegingsvergelijkingen.

Formuleblad:

Aanpak:

We moeten iets met de top van $y(t)=-5t^2+2+20t\cdot \cos(\alpha)\cdot \sqrt{\sin(\alpha)}+4\sin(\alpha)$ . Een top vinden we altijd met $y'(t)=0$ . Dat wordt dus onze eerste stap. Zodra we hiermee de $t$ -waarde van de top gevonden hebben, vullen we die weer in de formule van $y(t)$ om een formule voor $y_{\text{top}}$ te krijgen.

Die formule moeten we dan nog omschrijven naar $y_{\text{top}}=2+24\sin(\alpha)-20\sin^3(\alpha)$ . Bij dit omschrijven heb je vaak de rekenregel $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ nodig. Dit is dus een van de belangrijkste formules om voor het examen uit je hoofd te kennen.

Uitwerking met afgeleide = 0:

$y(t)=-5t^2+2+20t\cdot \cos(\alpha)\cdot \sqrt{\sin(\alpha)}+4\sin(\alpha)$ geeft $y'(t)=-10t+20\cos(\alpha)\cdot \sqrt{\sin(\alpha)}$ .
$y'(t)=0$ geeft $-10t+20\cos(\alpha)\cdot \sqrt{\sin(\alpha)}=0$
$-10t=-20 \cos(\alpha)\cdot \sqrt{\sin(\alpha)}$
$t=2\cos(\alpha)\cdot \sqrt{\sin(\alpha)}$
$y_{\text{top}}=y(2\cos(\alpha)\sqrt{\sin(\alpha)})$
$y_{\text{top}}=-5(2\cos(\alpha)\sqrt{\sin(\alpha)})^2+2+20\cdot 2\cos(\alpha)\sqrt{\sin(\alpha)}\cdot \cos(\alpha)\sqrt{\sin(\alpha)}+4\sin(\alpha)$
$y_{\text{top}}=-5\cdot 4\cos^2(\alpha)\sin(\alpha)+2+40\cos^2(\alpha)\sin(\alpha)+4\sin(\alpha)$
$y_{\text{top}}=20\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)+2+4\sin(\alpha)$
Invullen van $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$ geeft
$y_{\text{top}}=20\sin(\alpha)(1-\sin^2(\alpha))+2+4\sin(\alpha)$
$y_{\text{top}}=20\sin(\alpha)-20\sin^3(\alpha)+2+4\sin(\alpha)$
$y_{\text{top}}=2+24\sin(\alpha)-20\sin^3(\alpha)$

Uitwerking met $t_{\text{top}}=\frac{-b}{2a}$ :

$y(t)$ is een parabool met $a=-5$ en $b=20\cos(\alpha)\sqrt{\sin(\alpha)}$
$t_{\text{top}}=\frac{-b}{2a}$
$t_\text{top}=\frac{-20\cos(\alpha)\sqrt{\sin(\alpha)}}{2\cdot -5}$
$t_\text{top}=2\cos(\alpha)\cdot \sqrt{\sin(\alpha)}$
$y_{\text{top}}=y(2\cos(\alpha)\sqrt{\sin(\alpha)})$
$y_{\text{top}}=-5(2\cos(\alpha)\sqrt{\sin(\alpha)})^2+2+20\cdot 2\cos(\alpha)\sqrt{\sin(\alpha)}\cdot \cos(\alpha)\sqrt{\sin(\alpha)}+4\sin(\alpha)$
$y_{\text{top}}=-5\cdot 4\cos^2(\alpha)\sin(\alpha)+2+40\cos^2(\alpha)\sin(\alpha)+4\sin(\alpha)$
$y_{\text{top}}=20\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)+2+4\sin(\alpha)$
Invullen van $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$ geeft
$y_{\text{top}}=20\sin(\alpha)(1-\sin^2(\alpha))+2+4\sin(\alpha)$
$y_{\text{top}}=20\sin(\alpha)-20\sin^3(\alpha)+2+4\sin(\alpha)$
$y_{\text{top}}=2+24\sin(\alpha)-20\sin^3(\alpha)$

Uit de formule voor $y_{\text{top}}$ kan de waarde van de stophoek $\alpha$ worden berekend waarvoor de kogel de grootst mogelijke hoogte bereikt. In dit optimale geval zijn de bewegingsvergelijkingen voor $P$ bij benadering gelijk aan:

$\begin{cases}x(t)=10{,}1t-3{,}1\\ y(t)=-5t^2+12{,}3t+4{,}5\end{cases}$

Opdracht 12: (4 punten)
Toon met een berekening aan dat in dit geval inderdaad bij benadering geldt: $y(t)=-5t^2+12{,}3t+4{,}5$

Aanpak:

Er staat geen exact, algebraïsch of bewijs in de opgave. Je mag dus alles met de GR berekenen (het woord bereken in de opgave vereist niet dat je de berekeningen zonder GR uitvoert).

Als eerste staat er boven de opgave dat we met de formule van $y_{\text{top}}$ de waarde van $\alpha$ kunnen berekenen waarbij de grootste moogte bereikt wordt. Je moet dus het maximum berekenen (met je GR).

Vervolgens moet je deze waarde van $\alpha$ invullen in $y(t)=-5t^2+2+20t\cdot \cos(\alpha)\cdot \sqrt{\sin(\alpha)}+4\sin(\alpha)$ en laten zien dat hier na afronden de gevraagde formule komt.

Uitwerking:

Voer in: $Y_1=2+24\sin(x)-20\sin^3(x)$
Optie maximum geeft $x=0{,}684\ldots$ , dus $\alpha=0,684\ldots$
$y(t)=-5t^2+2+20t\cdot \cos(0{,}684\ldots)\cdot \sqrt{\sin(0{,}684\ldots)}+4\sin(0{,}684\ldots)$
$y(t)=-5t^2+2+12{,}284\ldots t+2{,}529\ldots$
Afgerond op één decimaal geeft dit:
$y(t)=-5t^2+12{,}3t+4{,}5$

De stophoek is zo ingesteld dat de kogel zo hoog mogelijk komt. Als de katapult, gemeten vanaf $O$ 24 meter van een 6 meter hoge vestingmuur staat, komt de kogel niet over de muur.

Opdracht 13: (5 punten)
Bereken de afstand waarover de katapult minstens in de richting van de muur moet worden verschoven zodat de kogel wel over de muur komt. Geef het antwoord in gehele meters.

Aanpak:

Ook bij deze vraag staat geen exact, algebraïsch of bewijs. Je mag dus ook hier alles met je rekenmachine doen.

We moeten kijken bij welke $x$ de katapult op een hoogte van 6 meter is. Dat doe je in twee stappen: je berekent bij welke $t$ de hoogte 6 meter is. Vervolgens vul je deze $t$ in $x(t)$ om op de bijbehorende plaats te vinden.

Let er tot slot op dat je moet zorgen dat de kogel over de muur heengaat. Als de kogel bijvoorbeeld 1,1 meter te kort komt, is het niet genoeg om de katapult 1 meter voorut te schrijven en is het antwoord dus 2 meter.

Uitwerking met GR:

$y(t)=6$ geeft $-5t^2+12{,}3t+4{,}5=6$
Voer in: $\begin{cases}Y_1=-5x^2+12{,}3x+4{,}5\\ Y_2=6\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=0{,}084\ldots\vee x=2{,}331\ldots$
We zijn geïnteresseerd in wanneer de kogel deze lijn voor de tweede keer passeert.
Dus $t=2{,}331\ldots$
$x(2{,}331\ldots)=10{,}1\cdot 2{,}331\ldots -3{,}1=20,44\ldots$
Als we de katapult 3 meter verschuiven, gaat die nog niet over de muur heen, maar als we hem 4 meter verschuiven wel. We moeten hem dus 4 meter verschuiven.

Uitwerking algebraïsch:

$y(t)=6$ geeft $-5t^2+12{,}3t+4{,}5=6$
$-5t^2+12{,}3t-1{,}5=0$
$D=12{,}3^2-4\cdot -5\cdot -1{,}5=121{,}29$
$t=\frac{-12{,}3+\sqrt{121{,}29}}{2\cdot -5}\vee t=\frac{-12{,}3+\sqrt{121{,}29}}{2\cdot -5}$
$t=0{,}084\ldots \vee t=2{,}331\ldots$
We zijn geïnteresseerd in wanneer de kogel de lijn voor de tweede keer passeert.
Dat is bij $t=2{,}331\ldots$
$x(2{,}331\ldots)=10{,}1\cdot 2{,}331\ldots -3{,}1=20,44\ldots$
Als we de katapult 3 meter verschuiven, gaat die nog niet over de muur heen, maar als we hem 4 meter verschuiven wel. We moeten hem dus 4 meter verschuiven.

Pagina's: 1234567891011