Les 1: Pre-complexe tijdperk – Pagina 2

Oppervlakte en omtrek

Laten we bij het bekijken van dit probleem beginnen met een soortgelijk probleem wat wel uitkomt.

Opdracht 2:
De rechthoekige driehoek hieronder heeft een oppervlakte van 6 en een omtrek van 12.
a) Stel een stelsel van vergelijkingen op in de rechthoekszijden $P_1$ en $P_2$ .
b) Bereken met behulp van het stelsel de lengten van de zijden van deze driehoek.
c) Vergelijk mijn twee antwoorden bij opdracht b. Welke methode vind je prettiger?

Uitwerking a:

De oppervlakte van de driehoek is zowel $\frac{1}{2}\cdot P_1\cdot P_2$ als $6$ . Beide keer twee doen, geeft de vergelijking $P_1\cdot P_2=12$ .

De omtrek van de driehoek is $P_1+P_2+P_3$ . Met de stelling van Pythagoras hebben we $P_3=\sqrt{P_1^2+P_2^2}$ . Dit geeft dus de vergelijking $P_1+P_2+\sqrt{P_1^2+P_2^2}=12$ .

De twee alinea’s hierboven geven samen het stelsel $\begin{cases}P_1\cdot P_2=12\\ P_1+P_2+\sqrt{P_1^2+P_2^2}=12\end{cases}$ .

Uitwerking b met substitutie van wis B:

De vergelijking $P_1\cdot P_2=12$ geeft ons $P_2=\frac{12}{P_1}$ . Dit substitueren in $P_1+P_2+\sqrt{P_1^2+P_2^2}=12$ geeft $P_1+\frac{12}{P_1}+\sqrt{P_1^2+(\frac{12}{P_1})^2}=12$ oftewel $P_1+\frac{12}{P_1}+\sqrt{P_1^2+\frac{144}{P_1^2}}=12$ .

De wortel isoleren geeft $\sqrt{P_1^2+\frac{144}{P_1^2}}=12-P_1-\frac{12}{P_1}$ .
Vervolgens kwadrateren (en haakjes uitwerken) geeft $P_1^2+\frac{144}{P_1^2}=12^2-2\cdot 12P_1-2\cdot 12\cdot \frac{12}{P_1}+P_1^2+2\cdot 12\cdot \frac{12}{P_1}+(\frac{12}{P_1})^2$ . Dit vereenvoudigt tot $P_1^2+\frac{144}{P_1^2}=144-24P_1-\frac{288}{P_1}+P_1^2+24+\frac{144}{P_1^2}$ .
Links en rechts vallen een paar termen tegen elkaar weg. Daarna houden we $-24P_1+168-\frac{288}{P_1}=0$ over.
Vermenigvuldigen met $P_1$ geeft de kwadratische vergelijking $-24P_1^2+168P_1-288=0$ .
Delen door $-24$ geeft $P_1^2-7P_1+12=0$ wat ontbindt tot $(P_1-3)(P_1-4)=0$ wat $P_1=3\vee P_1=4$ geeft.

Nemen van $P_1=3$ geeft $P_2=\frac{12}{P_1}=\frac{12}{3}=4$ (evengoed zou $P_1=4$ geven dat $P_2=3$ . De rechthoekszijden zijn dus altijd 3 en 4) en $P_3=\sqrt{3^2+4^2}=5$ . Bij dit probleem krijgen we dus een driehoek met zijden van 3, 4 en 5.

Uitwerking b met substitutie van boek:

Substitueren van $P_1=\frac{1}{x}$ en $P_2=12x$ geeft bij de eerste vergelijking $12=12$ (die klopt dus!). De tweede vergelijking wordt $\frac{1}{x}+12x+\sqrt{\frac{1}{x^2}+144x^2}=12$ .

De wortel isoleren geeft $\sqrt{\frac{1}{x^2}+144x^2}=12-12x-\frac{1}{x}$ .
Vervolgens kwadrateren (en haakjes uitwerken) geeft $\frac{1}{x^2}+144x^2=144-288x-\frac{24}{x}+144x^2+24+\frac{1}{x^2}$ .
Links en rechts vallen een paar termen tegen elkaar weg. Daarna houden we $-288x+168-\frac{24}{x}=0$ over.
Vermenigvuldigen met $x$ geeft de kwadratische vergelijking $-288x^2+168x-24=0$ .
Delen door $-24$ geeft $12x^2-7x+1=0$ . Dit geeft $D=(-7^2)-4\cdot 12\cdot 1 = 1$ . Met de abc-formule krijgen we $x=\frac{7+\sqrt{1}}{2\cdot 12}=\frac{1}{3}$ of $x=\frac{7-\sqrt{1}}{2\cdot 12}=\frac{1}{4}$ .

Voor $x=\frac{1}{3}$ krijgen we $P_1=\frac{1}{1/3}=3$ en $P_2=12\cdot\frac{1}{3}=4$ (voor $x=\frac{1}{4}$ krijgen we $P_1=4$ en $P_2=3$ en hebben we dus dezelfde lengten van zijden in onze driehoek) en $P_3=\sqrt{3^2+4^2}=5$ . Bij dit probleem krijgen we dus een driehoek met zijden van 3, 4 en 5.

Uitwerking c:

Het doel van deze vraag is voornamelijk om je de oplossing van de substitutie van het boek nog even goed te laten bekijken. De truc die ze hier doen om een nieuwe variabele te introduceren om de vergelijking mee op te lossen is namelijk iets wat we in deze module nog meerdere keren nodig gaan hebben. Bij wiskunde B hebben we dit ook al een aantal keer gezien bij het oplossen van vergelijkingen als $x^4-7x^2+6=0$ die we oplossen met de substitutie $t=x^2$ .

Het is hier de vraag of die substitutie de vraag gemakkelijker maakt dan hem op de normale manier oplossen. Het heeft voordelen (de variabele $x$ werkt prettiger dan de variabele $P_1$ en er staan kleinere getallen in de opgave) en nadelen (bij het oplossen heeft $P_1$ een meetkundige betekenis, terwijl die van $x$ minder natuurlijk is). Het is dus een kwestie van stijl welke je prettiger vindt. Wel helpt het dus voor deze module als je beide manieren begrijpt.

Een gerelateerde interessante vraag is welke omtrekken allemaal mogelijk zijn bij een rechthoekige driehoek bij een gegeven oppervlakte. Dit reken je in opdracht 3 uit bij een oppervlakte van 36.

Opdracht 3:
De rechthoekige driehoek heeft nu een oppervlakte van 7.
a) Stel een formule op voor de omtrek waarin als enige variabele de lengte van de zijde $P_1$ in voorkomt.
b) Bereken op twee decimalen nauwkeurig de minimale omtrek bij een oppervlakte van 7.
c) Leg uit waarom er geen driehoek met oppervlakte 7 en omtrek 12 mogelijk is.

Uitwerking a:

We hebben $\text{oppervlakte} = \frac{1}{2} P_1\cdot P_2=7$ en dus $P_2=\frac{14}{P_1}$ . Met de stelling van Pythagoras krijgen we $P_3=\sqrt{P_1^2+P_2^2}=\sqrt{P_1^2+(\frac{14}{P_1})^2}=\sqrt{P_1^2+\frac{196}{P_1^2}}$ .

Dit geeft $\text{omtrek}=P_1+P_2+P_3=P_1+\frac{14}{P_1}+\sqrt{P_1^2+\frac{196}{P_1^2}$ .

Uitwerking b:

Er staat geen exact, algebraïsch of bewijs in de vraag. We mogen hierbij dus onze grafische rekenmachine gebruiken. Daarbij vullen we de gevonden formule uit opdracht a in $Y_1$ in. Dat geeft $Y_1=x+\frac{14}{x}+\sqrt{x^2+\frac{196}{x^2}$ . Optie minimum geeft dan $x=3{,}741\ldots$ en $y\approx 12{,}774\ldots$ .

De minimale omtrek is de $y$ -waarde van dit punt. Dan is nog de grote vraag hoe je bij deze vraag moet afronden. Er zijn twee manieren hoe je hiernaar kan kijken:

$12{,}77$ is niet mogelijk als omtrek en $12{,}78$ is wel mogelijk. Zo bekeken zou het antwoord $12{,}78$ moeten zijn.
Het is mogelijk om afgerond op twee decimalen $12{,}77$ te krijgen. Dat is dus de kleinst mogelijke waarde die je afgerond op twee decimalen kunt krijgen en zo bekeken kan ook $12{,}77$ het antwoord zijn.

Persoonlijk vind ik voor beide denkwijzen iets te zeggen. Op het centraal examen wiskunde B hanteren ze echter bij dit soort vragen de eerste manier van redeneren. Dat is dus ook de vorm die ik bij wiskunde B en D goedreken, want dan leer je het goed aan voor het centraal examen (en dan mag je op persoonlijke noot nog erover nadenken of je het er ook mee eens bent of dat je $12{,}77$ een beter antwoord vindt).

NB: Merk op dat een eis is dat $x>0$ , omdat $x$ een zijde van de driehoek moet zijn. We kijken dus alleen naar het minimum rechts van de $x$ -as.

Uitwerking c:

We hebben in opdracht b gezien dat een oppervlakte van 7 alleen kan als de omtrek minimaal ongeveer $12{,}78$ is. Aangezien 12 minder is, kan een omtrek van 12 niet bij een oppervlakte van 7.

In opdracht 3 hebben we laten zien dat het probleem dat Diophantus in de Arithmetica probeerde op te lossen geen oplossingen kan hebben. Het is dus logisch dat Diophantus op een vergelijking uitkomt die geen reële oplossing heeft.

In dit geval heeft Diophantus dus ook gelijk dat het negatieve getal onder de wortel een indicatie is dat het probleem geen oplossing heeft. Dit is ook hoe we het bij wiskunde B gewend zijn. Komende lessen zullen we echter zien dat een negatief getal onder de wortel niet altijd hoeft te betekenen dat er geen reële oplossingen zijn.

Pagina's: 1234