Les 7: Differentievergelijkingen

In de module “inductie en rijen” hebben we differentievergelijkingen opgelost. We hebben daarbij echter alle situaties met complexe getallen vermeden. In deze les gaan we naar de situaties kijken waarin we wel complexe getallen tegenkomen. Voor we daarmee starten, vind je op deze pagina 3 opgaven om de kennis op te halen die we in de module “inductie en rijen” geleerd hebben.

Opdracht 1:
Stel de directe formule op van de rij $u_{n+2}=u_{n+1}+6u_{n}$ met $u_0=5$ en $u_1=0$ .

Uitwerking:

Substitutie van $u_n=g^n$ geeft $g^{n+2}=g^{n+1}+6g^n$ .
Delen door $g^n$ geeft $g^2=g+6$
$g^2-g-6=0$
$(g-3)(g+2)=0$
$g=3\vee g=-2$
Dit geeft $u_n=c_1\cdot 3^n+c_2\cdot (-2)^n$ .
Invullen van $\begin{cases}u_0=5\\u_1=0\end{cases}$ geeft $\begin{cases}c_1+c_2=5\\ 3c_1-2c_2=0\end{cases}$
$\begin{cases}2c_1+2c_2=10\\ 3c_1-2c_2=0\end{cases}$
De vergelijkingen optellen geeft $5c_1=10$ en dus $c_1=2$ .
Invullen van $c_1=2$ in $c_1+c_2=5$ geeft $2+c_2=5$ en dus $c_2=3$ .
De directe formule van $u_n$ is dus $u_n=2\cdot 3^n+3\cdot (-2)^n$ .

Opdracht 2:
a) Stel de directe formule op van de rij $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ met $u_0=0$ en $u_1=1$ .
b) Van welke rij heb je nu een directe formule gevonden?

Uitwerking a:

Substitutie van $u_n=g^n$ geeft $g^{n+2}=g^{n+1}+g^n$ .
Delen door $g^n$ geeft $g^2=g+1$
$g^2-g-1=0$
$(g-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-1=0$
$(g-\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$
$g-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{5}\vee g-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{5}$
$g=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\vee g=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5}$
Dit geeft $u_n=c_1\cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})^n+c_2\cdot (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5})^n$ .
Invullen van $\begin{cases}u_0=0\\u_1=1\end{cases}$ geeft $\begin{cases}c_1+c_2=0\\ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})c_1+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5})c_2=1\end{cases}$
$\begin{cases}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})c_1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})c_2=0\\ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})c_1+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5})c_2=1\end{cases}$
De vergelijkingen aftrekken geeft $\sqrt{5}c_2=-1$ en dus $c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{1}{5}\sqrt{5}$ . Dit weer invullen in $c_1+c_2=0$ geeft $c_1=\frac{1}{5}\sqrt{5}$ .
De directe formule van $u_n$ is dus $u_n=\frac{1}{5}\sqrt{5}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})^n-\frac{1}{5}\sqrt{5}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5})^n$

Uitwerking b:

Dit is de rij van Fibonacci.

Opdracht 3:
Stel de directe formule op van de rij $u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n$ met $u_0=1$ en $u_1=3$ .

Uitwerking:

Substitutie van $u_n=g^n$ geeft $g^{n+2}=4g^{n+1}-4g^n$ .
Delen door $g^n$ geeft $g^2=4g-4$
$g^2-4g+4=0$
$(g-2)(g-2)=0$
$g=2\vee g=2$
In de module “inductie en rijen” hebben we gezien dat de algemene oplossing dan van de vorm $u_n=(c_1n+c_2)2^n$ zijn.
Invullen van $\begin{cases}u_0=1\\u_1=3\end{cases}$ geeft $\begin{cases}c_2=1\\ 2c_1+2c_2=3\end{cases}$
$c_2=1$ geeft $2c_1+2=3$
$2c_1=1$ en dus $c_1=\frac{1}{2}$
De directe formule van $u_n$ is dus $u_n=(\frac{1}{2}n+1)2^n$ .

Pagina's: 1234