Les 7: Differentievergelijkingen – Pagina 3

Bij de volgende differentievergelijkingen kun je de kennis van de vorige pagina toepassen.

Opdracht 6:
Stel de directe formule op van $u_{n+2}=2u_{n+1}-2u_n$ met $u_0=1$ en $u_1=2$ .

Uitwerking:

Substitutie van $u_n=g^n$ geeft $g^{n+2}=2g^{n+1}-2g^n$ .
Delen door $g^n$ geeft $g^2=g+1$
$g^2=2g-2$
$g^2-2g+1=-1$
$(g-1)^2=-1$
$g-1=i\vee g-1=-i$
$g=1+i\vee g=1-i$
$u_{n}=c_1(1+i)^n+c_2(1-i)^n$
$1+i=\sqrt{2}\cdot e^{\frac{1}[4}\pi i}$
$1-i = \sqrt{2}\cdot e^{-\frac{1}{4}\pi i}$
$u_{n}=c_1(\sqrt{2}e^{\frac{1}{4}\pi i})^n+c_2(\sqrt{2}\cdot e^{-\frac{1}{4}\pi i})^n$
$u_{n}=\sqrt{2^n}(c_1e^{\frac{1}{4}\pi n i}+c_2e^{-\frac{1}{4}\pi n i})$
$u_{n}=\sqrt{2^n}(A\cdot \cos(\frac{1}{4}\pi n)+B\cdot \sin(\frac{1}{4}\pi n)$
$u_{n}=A\sqrt{2^n}\cos(\frac{1}{4}\pi n)+B\sqrt{2^n}\sin(\frac{1}{4}\pi n)$
Invullen van $\begin{cases}u_0=1\\ u_1=2\end{cases}$ geeft $\begin{cases}A=1\\ A+2=2\end{cases}$
Dit stelsel geeft $A=1\wedge B=\frac{1}{2}$ .
De oplossing is dus $u_{n}=\sqrt{2^n}\cos(\frac{1}{4}\pi n)+\frac{1}{2}\sqrt{2^n}\sin(\frac{1}{4}\pi n)$

Opdracht 7:
Stel de directe formule op van $u_{n+2}=-9u_n$ met $u_0=3$ en $u_1=4$ .

Uitwerking:

Substitutie van $u_n=g^n$ geeft $g^{n+2}=-9g^n$ .
Delen door $g^n$ geeft $g^2=-9$
$g=3i\vee g=-3i$
Dit geeft $u_n=c_1\cdot (3i)^n+c_2\cdot (-3i)^n$ .
$3i=3e^{\frac{1}{2}\pi i$ en $-3i=3e^{-\frac{1}{2}\pi i$
$u_n=c_1\cdot (3e^{\frac{1}{2}\pi i)^n+c_2\cdot (3e^{-\frac{1}{2}\pi i)^n$
$u_n=c_1 3^n\cdot e^{\frac{1}{2}\pi i n+c_2 3^n \cdot e^{-\frac{1}{2}\pi n i)$
$u_n=3^n(c_1 e^{\frac{1}{2}\pi i n+c_2 3^n \cdot e^{-\frac{1}{2}\pi n i)$
$u_n=3^n(A\cos(\frac{1}{2}\pi n) + B \sin(\frac{1}{2}\pi n))$
Invullen van $\begin{cases}u_0=3\\ u_1=4\end{cases}$ geeft $\begin{cases}A=1\\ 3B=4\end{cases}$
Dit stelsel geeft $A=1\wedge B=\frac{4}{3}$ .
De oplossing is dus $u_{n}=3^n\cdot \cos(\frac{1}{2}\pi n)+\frac{4}{3}\cdot 3^n \cdot \sin(\frac{1}{2}\pi n)$

Pagina's: 1234