Les 7: Differentievergelijkingen – Pagina 4

Met de kennis van het oplossen van derdegraads vergelijkingen (uit les 1 t/m les 4) kunnen we ook derdegraads differentievergelijkingen oplossen. Een voorbeeld hiervan staat hieronder. Deze opgave combineert een hoop kennis uit de afgelopen lessen.

Opdracht 8:
Stel via exacte weg de directe formule op van $u_{n+3}=3u_{n+2}-4u_{n+1}+12u_n$ met $u_0=3$ , $u_1=5$ en $u_2=14$ .

Uitwerking:

Substitutie van $u_n=g^n$ geeft $g^{n+3}=3g^{n+2}-4g^{n+1}+12g^n$ .
Delen door $g^n$ geeft $g^3-3g^2+4g-12=0$
We moeten dus de derdegraadsvergelijking $x^3-3x^2+4x-12=0$ oplossen:
$f(x)=x^3-3x^2+4x-12$
$f'(x)=3x^2-6x+4$
$f''(x)=6x-6$
$f''(x)=0$ geeft $6x=6$ en $x=1$ .
We doen dus $x_1=x_0-1$ om het buigpunt op de $y$ -as te krijgen. Dit geeft $x_0=x_1+1$ .
$x_0=x_1+1$ substitueren in $x^3-3x^2+4x-12=0$ geeft:
$(x_1+1)^3-3(x_1+1)^2+4(x_1+1)-12=0$
$x_1^{\,3}+3x_1^{\,2}+3x_1+1-3x_1^{\,2}-6x_1-3+4x_1+4-12=0$
$x_1^{\,3}+x_1-10=0$
$x_1=x_2+\frac{t}{x_2}$ substitueren geeft:
$(x_2+\frac{t}{x_2})^3+(x_2+\frac{t}{x_2})-10=0$
$x_2^{\,3}+3x_2^{\,2}\cdot \frac{t}{x_2}+3x_2(\frac{t}{x_2})^2+(\frac{t}{x_2})^3+x_2+\frac{t}{x_2}-10=0$
$x_2^{\,3}+3t\cdot x_2+3t^2\cdot \frac{1}{x_2}+\frac{t^3}{x_2^{\,3}}+x_2+t\cdot \frac{1}{x_2}-10=0$
$x_2^{\,3}+(3t+1)x_2+(3t^2+t)\cdot \frac{1}{x_2}+\frac{t^3}{x_2^{\,3}}-10=0$
De termen met $x_2$ en $\frac{1}{x_2}$ vallen weg als $3t+1=0$ . Dat is bij $3t=-1$ en dus $t=-\frac{1}{3}$ . Dit geeft:
$x_2^{\,3}+\frac{(-\frac{1}{3})^3}{x_2^{\,3}}-10=0$
$x_2^{\,3}-\frac{\frac{1}{27}}{x_2^{\,3}}-10=0$
$x_3=x_2^{\,3}$ geeft $x_3-\frac{\frac{1}{27}}{x_3}-10=0$
$x_3^{\,2}-\frac{1}{27}-10x_3=0$
$x_3^{\,2}-10x_3-\frac{1}{27}=0$
$(x_3-5)^2-25-\frac{1}{27}=0$
$(x_3-5)^2=\frac{676}{27}$
$x_3-5=\sqrt{\frac{676}{27}}\vee x_3-5=-\sqrt{\frac{676}{27}}$
$x_3=5+\sqrt{\frac{676}{27}}\vee x_3=5-\sqrt{\frac{676}{27}}$
Om straks de truc van het herleiden van de wortel toe te passen, moeten we eerst een zo klein mogelijk getal onder de wortel krijgen.
Hierbij zien we dat $\sqrt{\frac{676}{27}}=\sqrt{676}\cdot \sqrt{\frac{1}{81}}\cdot \sqrt{3} = \frac{26}{9}\sqrt{3}$ .
$x_3=5+ \frac{26}{9}\sqrt{3}$ geeft $x_2=\sqrt[3]{5+ \frac{26}{9}\sqrt{3}}$
We moeten nu ook de getallen in de derdemachtswortel geheel en zo klein mogelijk maken. Dat doen we door een $\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$ buiten de wortel te halen. Dat geeft:
$x_2=\sqrt[3]{\frac{1}{27}}\cdot \sqrt[3]{5\cdot 27+26\cdot 3\sqrt{3}}$
$x_2=\frac{1}{3}\cdot \sqrt[3]{135+78\sqrt{3}}$
Stel $\sqrt[3]{135+78\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}$
$135+78\sqrt{3}=a^3+3a^2b\sqrt{3}+9ab^2+3b^3\sqrt{3}$
$135+78\sqrt{3}=(a^3+9ab^2)+(3a^2b+3b^3)\sqrt{3}$
$\begin{cases}a^3+9ab^2=135\\ 3a^2b+3b^3=78\end{cases}$
$\begin{cases}a(a^2+9b^2)=135\\ b(3a^2+3b^2)=78\end{cases}$
$b(3a^2+15b^2)$ kan dus $1\cdot 78$ , $2\cdot 39$ , $3\cdot 26$ of $6\cdot 13$ zijn. Proberen geeft $b=2$ met $a=3$ .
Dus $x_2=\frac{1}{3}(3+2\sqrt{3})=1+\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$x_1=x_2+\frac{t}{x_2}=1+\frac{2}{3}\sqrt{3}+\frac{-\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{3}\sqrt{3}}$
$x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3}+\frac{-1}{3+2\sqrt{3}}$
$x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3}+\frac{-(3-2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})}$
$x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3}+\frac{-3+2\sqrt{3}}{-3}$
$x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3}+1-\frac{2}{3}\sqrt{3}=2$
$x=x_1+1=2+1=3$
We weten nu dat $x=3$ een oplossing is van $x^3-3x^2-4x-12$ . Dat betekent dat $x^3-3x^2+4x-12=(x-3)(\text{iets})$ . Dus:
$\begin{align*}x^3-3x^2+4x-12 &= x^2(x-3)+4x-12\\ &= x^2(x-3)+4(x-3)\\ &= (x^2+4)(x-3)\\ &= (x-2i)(x+2i)(x-3)\end{align*}$

De gevraagde drie oplossingen zijn dus $x=2i\vee x=-2i\vee x=3$
Dus $u_n = c_1(2i)^n+c_2(-2i)^n+c_3\cdot 3^n$
$u_n = c_1(2\cdot e^{\frac{1}{2}\pi i})^n+c_2(2e^{-\frac{1}{2}\pi i})^n+c_3\cdot 3^n$
$u_n = 2^n(c_1 \cdot e^{\frac{1}{2}\pi n i}+c_2\cdot e^{-\frac{1}{2}\pi n i})+c_3\cdot 3^n$
$u_n = 2^n(A\cos (\frac{1}{2}\pi n) + B\sin(\frac{1}{2}\pi n))+C\cdot 3^n$
$\begin{cases}u_0=3\\ u_1=5\\ u_2=14\end{cases}$ geeft $\begin{cases}A+C=3\\ 2B+3C=5\\ -4A+9C=14\end{cases}$
De eerste en derde vergelijking geven samen $\begin{cases}4A+4C=12\\ -4A+9C=14\end{cases}$ . De vergelijking optellen geeft $13C=26$ oftewel $C=2$ .
Dat weer invullen in $4A+4C=12$ geeft $4A+8=12$ en via $4A=4$ wordt dat $A=1$ .
$C=2$ invullen in $2B+3C=5$ geeft $2B+6=5$ , $2B=-1$ en $B=-\frac{1}{2}$ .
Het eindantwoord is dus $u_n = 2^n\cos (\frac{1}{2}\pi n) + \frac{1}{2}\cdot 2^n \sin(\frac{1}{2}\pi n)+2\cdot 3^n$

Pagina's: 1234