Les 1: Pre-complexe tijdperk – Pagina 3

Afgeknotte piramide

De formule voor de inhoud $I$ van een piramide is $I=\frac{1}{3}\cdot \text{oppervlakte grondvlak} \cdot \text{hoogte}$ . Om deze formule zelf af te leiden, moet je kunnen integreren (dat leer je bij mij op school op een moment als deze module al klaar is). Ik beperk mij daarom hier tot een filmpje die visueel laat zien waarom de formule waar is.

Met behulp van de formule $I=\frac{1}{3}\cdot \text{oppervlakte grondvlak} \cdot \text{hoogte}$ kun je ook de oppervlakte van een afgeknotte piramide berekenen. Dat ga je in de opdracht hieronder doen.

Opdracht 4:
In de afbeelding hieronder zie je een afgeknotte piramide.
a) De lengtes van de zijden van het vierkant in het grondvlak zijn 8 (in het plaatje aangegeven met een $a$ ). De lengtes van de zijden van het vierkant in het bovenvlak zijn 4 (in het plaatje aangegeven met een $b$ ). Tot slot is de hoogte 5 (in het plaatje aangegeven met het rode lijnstuk met een $h$ ). Bereken de inhoud van deze afgeknotte piramide.
b) Via dezelfde weg als dat je je berekeningen van opdracht 4a hebt gedaan, kun je ook een algemene formule voor de inhoud van de afgeknotte piramide vinden. Doe dat en toon hiermee aan dat de formule $V=\frac{1}{3}h(a^2+ab+b^2)$ uit het boek klopt.

Uitwerking a:

Er geldt dat $\triangle AMI$ en $\triangle ENI$ gelijkvormig zijn. Dit is het geval, omdat de hoek bij $I$ hetzelfde is en de hoogtelijnen per definitie loodrecht op de grondvlakken staan. Met Pythagoras zien we vervolgens dat $AM=\frac{1}{2}\sqrt{8^2+8^2}=4\sqrt{2}$ en $EN=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+4^2}=2\sqrt{2}$ . Er geldt dus ook $\frac{IM}{IN}=\frac{AM}{EN}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$ . We hebben nu $IM+2\cdot IN$ en $IM=IN+5$ . Deze vergelijkingen combineren geeft $IM=10$ en $IN=5$ .

We gaan nu eerst van de volledige piramide de inhoud bepalen en daar vervolgens het afgehakte stuk van aftrekken. Van de hele piramide is de oppervlakte van het grondvlak $8\cdot 8 =64$ en de hoogte is $IM=10$ . Volgens de formule geeft dat een inhoud van $V_1=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 10=213\frac{1}{3}$ .
Op dezelfde manier is de oppervlakte van het grondvlak van het afgehakte stuk $4\cdot 4=16$ en is de hoogte van het afgehakte stuk $5$ . De inhoud van het afgehakte stuk is dus $V_2=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 5=26\frac{2}{3}$ . De totale inhoud van de afgeknotte piramide is dus $V=V_1-V_2=213\frac{1}{3}-26\frac{2}{3}=186\frac{2}{3}$ .

Uitwerking b:

Met Pythagoras krijgen we nu $EN=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}b$ en $AM=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}a$ . Met de gelijkvormigheid $\triangle AMI\sim\triangle ENI$ krijgen we nu $\frac{IM}{IN}=\frac{AM}{EN}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}a}{\frac{1}{2}\sqrt{2}b}=\frac{a}{b}$ .
Bovenstaande geeft ons $IM=\frac{a}{b} \cdot IN$ . Dit combineren met $IM=IN+h$ geeft $\frac{a}{b}\cdot IN=IN+h$ . Aan beide kanten $IN$ aftrekken geeft $(\frac{a}{b}-1)IN=h$ en dus $IN=\frac{h}{\frac{a}{b}-1}$ . Aangezien breuken in breuken niet mooi zijn, vereenvoudig ik de rechterkant nog door teller en noemer keer $b$ te doen. Dat geeft $IN=\frac{bh}{a-b}$ en $IM=h+IN=h+\frac{bh}{a-b}$ .

De inhoud van de hele piramide is nu $V_1=\frac{1}{3}\cdot \text{grondvlak} \cdot \text{hoogte}=\frac{1}{3}a^2\cdot (h+\frac{bh}{a-b})$ . De inhoud van het afgezaagde stuk is $V_2=\frac{1}{3}\cdot b^2\cdot \frac{bh}{a-b}$ . De inhoud van de afgeknotte piramide is dus $V=V_1-V_2=\frac{1}{3}a^2\cdot (h+\frac{bh}{a-b})-\frac{1}{3}\cdot b^2\cdot \frac{bh}{a-b}$ .

Tot slot moeten we nog laten zien dat deze uitdrukking gelijk is aan de uitdrukking die we willen aantonen. Hiervoor gaan we het merkwaardig product $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ gebruiken. Daarmee krijgen we dat:

$\begin{align*}V&=\frac{1}{3}a^2\cdot (h+\frac{bh}{a-b})-\frac{1}{3}\cdot b^2\cdot \frac{bh}{a-b}\\ &= \frac{1}{3}a^2h +\frac{1}{3}a^2\frac{bh}{a-b}-\frac{1}{3}b^2\cdot \frac{bh}{a-b}\\ &= \frac{1}{3}a^2h +\frac{1}{3}(a^2-b^2)\cdot \frac{bh}{a-b}\\ &= \frac{1}{3}a^2h +\frac{1}{3}(a+b)(a-b)\cdot \frac{bh}{a-b}\\ &=\frac{1}{3}a^2h +\frac{1}{3}(a+b)bh\\ &= \frac{1}{3}a^2h +\frac{1}{3}abh +\frac{1}{3}b^2h\\ &= \frac{1}{3}h(a^2+ab+b^2)\end{align*}$

Zoals ook in het boek staat, was deze formule voor de Egyptenaren minder practisch, omdat de hoogte $h$ nergens direct af te meten is. Ze gebruikten dus liever de afstand $AE$ die ze $c$ noemden. In de afbeelding hieronder staat de afgeknotte piramide nog een keer met een aantal extra hulplijnen.

Opdracht 5:
a) Bewijs dat $AJ=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b$ .
b) Bereken $h$ en vervolgens de inhoud van de afgeknotte kegel voor $a=10$ , $b=4$ en $c=\sqrt{34}$ (hint: er geldt dat $\angle AKE=90^{\circ}$ . Dit lijkt in het plaatje niet echt zo, maar dat komt, omdat het moeilijk is om een driedimensionaal plaatje op een goede manier af te beelden op twee dimensies).
c) Probeer de berekeningen ook te doen voor $a=28$ , $b=4$ en $c=15$ die Heron of Alexandria gebruikte. Wat gaat hier fout?
d) Leid tot slot de formule $h=\sqrt{c^2-2\left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$ uit het boek af.

Uitwerking a:

We hebben dat $AB=a$ en $JL=b$ . Verder geldt vanwege symmetrie dat $BL=AJ$ . Samen geeft dat uit $AJ+JL+BL=AB$ volgt dat $AJ+b+AJ=a$ . Dat geeft $2 AJ=a-b$ en dus $AJ=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b$ .

Uitwerking b:

Uit opdracht a krijgen we $AJ=\frac{1}{2}\cdot 10-\frac{1}{2}\cdot 4=3$ . Op eenzelfde manier kunnen we ook afleiden dat $JK=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}\cdot 10-\frac{1}{2}\cdot 4=3$ . Met Pythagoras in $\triangle AKE$ krijgen we $AK=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}$ . Vervolgens Pythagoras doen in $\triangle AKE$ geeft $h=EK=\sqrt{AE^2-EK^2}=\sqrt{34-18}=4$ .

Nu kunnen we $a=10$ , $b=4$ en $h=4$ in de formule $V=\frac{1}{3}h(a^2+ab+b^2)$ invullen om de inhoud te berekenen. Dat geeft $V=\frac{1}{3}\cdot 4(10^2+10\cdot 4+4^2)=208$ .

Uitwerking c:

Net als in opdracht b krijgen we $JK=AJ=\frac{1}{2}\cdot a-\frac{1}{2}\cdot b=\frac{1}{2}\cdot 28-\cdot \frac{1}{2}\cdot 4=12$ . Met Pythagoras in $\triangle AKE$ krijgen we $AK^2=12^2+12^2=288$ . Vervolgens Pythagoras doen in $\triangle AKE$ geeft $h=EK=\sqrt{AE^2-EK^2}=\sqrt{15^2-288}=\sqrt{-63}$ .

Dit kan natuurlijk niet. De reden dat dit fout gaat, is omdat de verbindingslijn $c$ korter is dan de afstand die nodig is om de twee vierkanten te verbinden als ze in hetzelfde vlak (met hetzelfde middelpunt) zouden zitten. Als dat al niet lukt, lukt het natuurlijk ook niet om de vierkanten te verbinden als een van de vierkanten ook nog omhoog verplaatst is.

Uitwerking d:

Op eenzelfde manier als in opdracht b kunnen we ook afleiden dat $JK=AJ=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{a-b}{2}$ . Met Pythagoras krijgen we $AK^2=(\frac{a-b}{2})^2+(\frac{a-b}{2})^2=2(\frac{a-b}{2})^2$ . Met Pythagoras in $\triangle AKE$ krijgen we dan $EK=\sqrt{AE^2-AK^2}=\sqrt{c^2-2\left(\frac{a-b}{2})^2}$ .

Net als bij het probleem op de vorige pagina kreeg ook Heron van Alexandrië hier bij $a=28$ , $b=4$ en $c=15$ een wortel van een negatief getal. Ook hier is dit een indicatie dat het oorspronkelijke probleem geen oplossing heeft. Het is in de komende lessen goed om iedere keer als een wortel van een negatief getal wel tot een reële oplossing leid je af te vragen wat het verschil is met deze twee problemen (of problemen die je van wiskunde B kent waarbij je bij een wortel van een negatief getal mag concluderen dat er geen oplossingen zijn).

Pagina's: 1234