Cirkels (Havo 5 wis B) – Pagina 2

Raaklijn aan cirkel

De cirkel $c$ is gegeven door de vergelijking $x^2+y^2=6x+6y-13$ . De lijn $l$ met vergelijking $y=2x+2$ raakt de cirkel in het punt $A$ . Zie figuur 1.

Opdracht 1: (4 punten)
Bereken exact de coördinaten van $A$ .

Aanpak:

Bij deze vraag moet je je realiseren dat een raakpunt ook een snijpunt is. We moeten dus het snijpunt van lijn $l$ met cirkel $c$ bepalen. Zo’n snijpunt bereken je altijd door de lijn te substitueren in de formule van de cirkel. Denk er daarbij aan dat je bij het substitueren altijd haakjes moet zetten om wat je in de formule substitueert.

NB: Zodra je het $x$ -coördinaat gevonden hebt, vul je altijd het $x$ -coördinaat in de lijn in om het $y$ -coördinaat te krijgen.

Uitwerking:

$\left.\begin{matrix}x^2+y^2=6x+6y-13\\ y=2x+2\end{matrix}\right\} x^2+(2x+2)^2=6x+6(2x+2)-13$
$x^2+4x^2+8x+4=6x+12x+12-13$
$5x^2-10x+5=0$
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$
$x=1$
$y=2\cdot 1+2=4$
De coördinaten van $A$ zijn $(1,4)$ .

$l$ snijdt de $x$ -as in het punt $S$ en de $y$ -as in het punt $T$ .
Cirkel $d$ is de cirkel met middellijn $ST$ . Zie figuur 2.

Opdracht 2: (5 punten)
Bewijs dat $d$ door $O$ gaat.

Aanpak:

Dit is een vraag die je kunt maken door van boven naar onder de punten, lijnen en cirkels te berekenen die geïntroduceerd worden. De eerste twee punten zijn daarbij voor het berekenen van $S$ en $T$ die de snijpunten van $l$ met de $x$ -as en $y$ -as zijn.

Vervolgens moeten we de formule van de cirkel opstellen. Hiervoor heb je altijd het middelpunt en de straal nodig. Het middelpunt is het midden van $S$ en $T$ . De straal is de helft van de lengte van lijnstuk $ST$ . Zodra je de formule van de cirkel hebt, kun je testen of de oorsprong op de cirkel ligt door te kijken of het punt $(0,0)$ aan de vergelijking van de cirkel voldoet.

Uitwerking:

$y_T=2\cdot 0 + 2=2$
Dus $T(0,2)$
$2x_S+2=0$
$2x=-2$
$x=-1$
Dus $S(-1,0)$
$M=(\frac{-1+0}{2}, \frac{0+2}{2})$
$M=(-\frac{1}{2}, 1)$
$ST^2=(-1-0)^2+(0-2)^2=5$
$ST=\sqrt{5}$
$r=\frac{1}{2}\cdot ST=\frac{1}{2}\sqrt{5}$
De formule van de cirkel is $(x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=(\frac{1}{2}\sqrt{5})^2$
$(x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=\frac{5}{4}$
De oorsprong $O(0,0)$ ligt op deze cirkel, want $(0+\frac{1}{2})^2+(0-1)^2=\frac{5}{4}$

Alternatieve uitwerking:

$y_T=2\cdot 0 + 2=2$
Dus $T(0,2)$
$2x_S+2=0$
$2x=-2$
$x=-1$
Dus $S(-1,0)$
$M=(\frac{-1+0}{2}, \frac{0+2}{2})$
$M=(-\frac{1}{2}, 1)$
$ST^2=(-1-0)^2+(0-2)^2=5$
$ST=\sqrt{5}$
$r=\frac{1}{2}\cdot ST=\frac{1}{2}\sqrt{5}$
$OM^2=(0+\frac{1}{2})^2+(0-1)^2=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$
$OM=\frac{1}{2}\sqrt{5}$
Conclusie: Aangezien de afstand van het middelpunt tot de oorsprong gelijk is aan de straal van de cirkel, ligt de oorsprong op de cirkel.

Pagina's: 12345678