Cirkels (Havo 5 wis B) – Pagina 3

Twee cirkels en twee lijnen

De cirkel $c_1$ wordt gegeven door $x^2-4x+y^2-6y=-8$ .
De lijn $k$ wordt gegeven door $y=\frac{1}{2}x+4\frac{1}{2}$ .

Lijn $k$ raakt cirkel $c_1$ .

Opdracht 3: (3 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

Een lijn is een raaklijn aan de cirkel als de lijn exact één punt gemeenschappelijk heeft met de cirkel. De aanpak van de opdracht is dus dat we de snijpunten gaan bepalen van $x^2-4x+y^2-6y=-8$ met $y=\frac{1}{2}x+4\frac{1}{2}$ (Dit doen we door $y=\frac{1}{2}x+4\frac{1}{2}$ in de cirkel te substitueren). Zodra we weten dat die maar één oplossing heeft, kunnen we de conclusie trekken dat $k$ inderdaad een raaklijn is.

Uitwerking:

$\left.\begin{matrix}x^2-4x+y^2-6y=-8\\ y=\frac{1}{2}x+4\frac{1}{2}\end{matrix}\right\} x^2-4x+(\frac{1}{2}x+4\frac{1}{2})^2-6(\frac{1}{2}x+4\frac{1}{2})=-8$
$x^2-4x+\frac{1}{4}x^2+4\frac{1}{2}x+20\frac{1}{4}-3x-27=-8$
$\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x+\frac{5}{4}=0$
$D=(-\frac{5}{2})^2-4\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{5}{4} = 0$
Aangezien de discriminant nul is, snijdt de lijn maar voor één waarde van $x$ de cirkel. Dat betekent dat de lijn de cirkel l=raakt.

Het punt $M$ is het middelpunt van $c_1$ . De lijn $l$ gaat door $M$ en staat loodrecht op $k$ . Het punt $S$ is het snijpunt van $l$ met de $y$ -as. De cirkel $c_2$ is de cirkel door $M$ met middelpunt $S$ . Zie de figuur.

Opdracht 4: (6 punten)
Stel op exacte wijze een vergelijking op van $c_2$ .

Aanpak:

Bij dit soort opdrachten helpt het vaak om de punten, lijnen en cirkels te berekenen in de volgorde dat ze in de vraag geïntroduceerd worden. In dit geval is de volgorde dus:

Bepaal het middelpunt $M$ door de cirkelvergelijking om te schrijven in de vorm $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ , waarbij $(p,q)$ dan het middelpunt is.
Stel de formule op van de lijn $l$ . Hiervoor gebruik je dat als twee lijnen $k$ en $l$ loodrecht op elkaar staan dat dan geldt $a_l=\frac{-1}{a_k}$ .
Bereken het snijpunt $S$ van $l$ met de $y$ -as.
Stel de formule op van de cirkel met middelpunt $S$ en straal $MS$ .

Uitwerking:

$x^2-4x+y^2-6y=-8$
$(x-2)^2-4+(y-3)^2-9=-8$
$(x-2)^2+(y-3)^2=5$
$M(2,3)$
$a_l = \frac{-1}{1/2} = -2$
$\left.\begin{matrix}y=-2x+b\\ M(2,3)\end{matrix}\right\} -2\cdot2+b=3$
$b=7$ (en $l: y=-2x+7$ )
$y_S=b=7$ , dus $S(0,7)$
$r^2=MS^2=(0-2)^2+(7-3)^2=20$
Een vergelijking van de cirkel is dus $x^2+(y-7)^2=20$

Pagina's: 12345678