Cirkels (Havo 5 wis B) – Pagina 6

Cirkel tussen lijnen

De lijn $l$ is gegeven door de vergelijking $y=\frac{1}{2}x$ en de lijn $m$ door de vergelijking $y=-\frac{1}{2}x$ .
Verder is gegeven de cirkel $c$ met middelpunt $M(\sqrt{5}, 0)$ en straal 1. Lijn $l$ raakt cirkel $c$ . Zie figuur 1.

Opdracht 10: (5 punten)
Bewijs dat lijn $l$ cirkel $c$ raakt.

Aanpak:

Een manier om aan te tonen dat lijn $l$ cirkel $c$ raakt is door te bewijzen dat er maar één snijpunt is. Hiervoor moeten we eerst de formule van de cirkel $c$ opstellen. Vervolgens kunnen we de lijn $l$ hierin substitueren. Als de resterende vergelijking één oplossing heeft, is er schijnbaar één snijpunt.

Uitwerking:

De vergelijking van de cirkel is $(x-\sqrt{5})^2+y^2=1$ .
$\left.\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x\\ (x-\sqrt{5})^2+y^2=1 \end{matrix}\right\} (x-\sqrt{5})^2+(\frac{1}{2}x)^2=1$
$x^2-2\sqrt{5}x+5+\frac{1}{4}x^2=1$
$\frac{5}{4}x^2-2\sqrt{5}x+4=0$
$D=(-2\sqrt{5})^2-4\cdot \frac{5}{4}\cdot 4$
$D=0$
Dus de vergelijking heeft één oplossing en daarom raakt lijn $l$ de cirkel $c$ .

De verticale lijn $n$ raakt cirkel $c$ aan de rechterkant. Lijn $n$ snijdt lijn $m$ in punt $A$ en lijn $l$ in punt $B$ . Samen met de oorsprong $O$ vormen de punten $A$ en $B$ de driehoek $OAB$ . Cirkel $c$ past precies in deze driehoek.
Zie figuur 2.

Opdracht 11: (5 punten)
Onderzoek op algebraïsche wijze of de oppervlakte van driehoek $OAB$ meer dan twee keer zo groot is als de oppervlakte van cirkel $c$ .

Aanpak:

Het helpt weer om de vraag van boven naar beneden te lezen en gewoon alles te berekenen wat geïntroduceerd wordt. De stappen daarbij zijn dus:

Stel de formule op van lijn $n$ (verticale raaklijn van de cirkel).
Bereken de coördinaten van punt $A$ en $B$ (snijpunt van lijnen)
Bereken de oppervlakte van driehoek $\triangle ABO$ (met $\text{Opp} = \pi r^2$ ).
Bereken de oppervlakte van de cirkel (met $\text{Opp} = \pi r^2$ )

Uitwerking:

Het $x$ -coördinaat aan de rechterkant van de cirkel is $\sqrt{5}+1$ .
Dus $n: x=\sqrt{5}+1=3{,}23\ldots$
$\left.\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x\\ x=3{,}23\ldots\end{matrix}\right\} y=\frac{1}{2}\cdot 3{,}23 = 1{,}61\ldots$
$\left.\begin{matrix}y=-\frac{1}{2}x\\ x=3{,}23\ldots\end{matrix}\right\} y=-\frac{1}{2}\cdot 3{,}23 = -1{,}61\ldots$
Dus $A(3{,}23\ldots, -1{,}61\ldots}$ en $B(3{,}23\ldots, 1{,}61\ldots}$
$AB = 1{,}61\ldots - - 1{,}61\ldots = 3{,}23\ldots$
$\text{Opp}(\triangle ABO)=\frac{1}{2}\cdot 3{,}23\ldots 3{,}23 = 5{,}23\ldots$
De oppervlakte van de cirkel is $\pi \cdot 1^2 = \pi$
Twee keer de oppervlakte van de cirkel is $2\pi = 6{,}28\ldots$ is meer dan de oppervlakte $5{,}23\ldots$ van de driehoek.
De uitspraak is dus niet waar.

Pagina's: 12345678