Cirkels (Havo 5 wis B) – Pagina 4

Rechthoek om cirkels

Cirkel $c_1$ met middelpunt $M_1$ wordt gegeven door $x^2+(y-3)^2=9$ . Cirkel $c_2$ met straal 2 en middelpunt $M_2$ raakt $c_1$ .

De twee cirkels worden omsloten door een rechthoek $ABCD$ zodanig dat:

de hoekpunten $A$ en $B$ op de $x$ -as liggen;
de lengte van zijde $AD$ gelijk is aan de diameter van $c_1$ ;
$c_1$ de zijden $AB$ , $CD$ en $AD$ raakt;
$c_1$ de zijden $BC$ en $CD$ raakt.

Zie figuur 1.

Opdracht 5: (5 punten)
Bereken exact de coördinaten van $M_2$ .

Aanpak:

Als twee cirkels raken, moet je vaak iets doen met het lijnstuk wat de twee middelpunten met elkaar verbindt. De lengte van dit lijnstuk is namelijk de som van de twee stralen. Deze lengte kun je met Pythagoras ook uitdrukken in de coördinaten van $M_1(x_1,y_1)$ en $M_2(x_2,y_2)$ . De lengte is dan immers ook $M_1M_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .

De strategie bij deze opdracht is daarom om drie van de vier coördinaten $x_1,y_1,x_2$ en $y_2$ te bepalen en om dan de twee manieren hoe je $M_1M_2$ kunt uitdrukken aan elkaar gelijk te stellen om het laatste coördinaat te berekenen. Dit doe je in de volgende stappen:

Bereken $M_1$ en de straal van cirkel 1.
Bereken de hoogte van $CD$ .
Bereken het $y$ -coördinaat van $M_2$
Gebruik de strategie die hierboven uitgelegd staat om het $x$ -coördinaat van $M_2$ te berekenen.

Uitwerking:

$M_1=(0,3)$ en $r_1=3$
$M_1M_2=r_1+r_2=3+2=5$
$y_C=3+3=6$ en $y_D=6$
Het $y$ -coördinaat van $M_2$ ligt 2 lager dan de lijn $CD$ . Dus $M_2(x,4)$ .
$M_1M_2=\sqrt{(x-0)^2+(4-3)^2}$
Daaruit volgt $x^2+(4-3)^2=5^2$
$x^2+1=25$
$x^2=24$
$x=\sqrt{24}$ (want $x=-\sqrt{24}$ voldoet niet)
De coördinaten van $M_2$ zijn dus $(\sqrt{24},4)$ .

Verder is gegeven cirkel $c_3$ met middelpunt $M_3$ . Deze cirkel raakt $c_2$ en de zijden $AB$ en $BC$ . Zie figuur 2.

In figuur 2 is ook de driehoek $M_2M_3N$ aangegeven, waarbij punt $N$ dezelfde $x$ -coördinaat heeft als $M_3$ en dezelfde $y$ -coördinaat als $M_2$ . In driehoek $M_2M_3N$ is $\alpha=\angle M_2M_3N$ en is hoek $N$ een rechte hoek. Er geldt:

$\sin(\alpha)=\frac{2-r}{r+2}$

Hierin is $r$ de straal van $c_3$ . Zie figuur 2.

Opdracht 6: (3 punten)
Bewijs de juistheid van deze formule.

Aanpak:

Het ezelsbruggetje van sinus is SOS. Er geldt dus $\sin(\alpha)=\frac{o}{s}=\frac{M_2N}{M_2M_3}$ . Om de vraag dan te bewijzen, moet je laten zien dat $M_2N=2-r$ en $M_2M_3=2+r$ . Je moet er daarbij opletten dat het eindantwoord al weggegeven is en je dus echt duidelijk moet laten zien waar je antwoord vandaan komt. Zelf zou ik dat hier misschien wel doen met een tekening, waarbij ik laat zien dat $M_2N+r=r_2$ zoals in de onderstaande afbeelding zichtbaar is.

Uitwerking:

$\sin(\alpha)=\frac{M_2N}{M_2M_3}$
$M_2M_3=r_2+r=2+r$
In de figuur van de aanpak zien we dat $M_2N+r=r_2$
$M_2N+r=2$
$M_2N=2-r$
Dus $\sin(\alpha)=\frac{2-r}{2+r}$

Pagina's: 12345678