Cirkels (Havo 5 wis B) – Pagina 8

Twee paren punten op een cirkel

De cirkel $c$ met middelpunt $M$ is gegeven door de vergelijking $x^2+y^2-10x+16y=56$ . Lijn $l$ is de lijn door het punt $A(4,4)$ met richtingscoëfficiënt -1. Deze lijn snijdt de cirkel behalve in punt $A$ ook in het punt $B$ . Zie figuur 1.

Opdracht 3: (5 punten)
Bereken exact de coördinaten van $B$ .

Aanpak:

We moeten het snijpunt van lijn $l$ en de cirkel berekenen. Hiervoor moeten we eerst de formule van de lijn opstellen. Aangezien de richtingscoëfficiënt -1 is, heeft $l$ de vorm $y=-x+b$ . Hier het punt $A$ in invullen, geeft de hele formule.

Zodra we de formule van $l$ hebben, kunnen we deze substitueren (invullen) in de vergelijking van de cirkel. Na haakjes uitwerken krijgen we een kwadratische vergelijking. De oplossingen hiervan zijn de $x$ -coördinaten van $A$ en $B$ . Aangezien je al weet dat $x_A-4$ het $x$ -coördinaat van $A$ is, weet je dat de ontbinding van deze vergelijking van de vorm $(x-4)(x-...)$ gaat zijn. Dit kan je helpen met die te vinden. Als je dat niet bedenkt of het nog niet lukt, kun je natuurlijk ook de ABC-formule gebruiken.

Denk er tot slot aan om bij je antwoord ook het $y$ -coördinaat van $B$ te berekenen! Zelf lees ik na het maken van een vraag altijd nog een keer de vraagstelling na om te controleren of ik de volledige vraag heb beantwoord (en niet bijvoorbeeld alleen het $x$ -coördinaat heb gegeven als naar de coördinaten gevraagd wordt).

Uitwerking:

$\left.\begin{matrix}y=-x+b\\ A(4,4)\end{matrix}\right\} 4=-4+b$
$b=8$ geeft $l:y=-x+8$
$\left.\begin{matrix}y=-x+8\\ x^2+y^2-10x+16y=56\end{matrix}\right\} x^2+(-x+8)^2-10x+16(-x+8)=56$
$x^2+x^2-16x+64-10x-16x+128=56$
$2x^2-42x+136=0$
$x^2-21x+68=0$
$(x-4)(x-17)=0$
$x_A=4\vee x_B=17$
$\left.\begin{matrix}y=-x+8\\ x=17\end{matrix}\right\} y=-17+8=-9$
De coördinaten van $B$ zijn dus $(17,-9)$ .

Uitwerking met cirkel eerst omschrijven (extra werk)

$\left.\begin{matrix}y=-x+b\\ A(4,4)\end{matrix}\right\} 4=-4+b$
$b=8$ geeft $l:y=-x+8$
$x^2-10x+y^2+16y=56$
$(x-5)^2-25+(y+8)^2-64=56$
$(x-5)^2+(y+8)^2=145$
Hier $y=-x+8$ in substitueren geeft $(x-5)^2+(-x+8+8)^2=145$
$(x-5)^2+(-x+16)^2=145$
$x^2-10x+25+x^2-32x+256=145$
$2x^2-42x+136=0$
$x^2-21x+68=0$
$(x-4)(x-17)=0$
$x_A=4\vee x_B=17$
$\left.\begin{matrix}y=-x+8\\ x=17\end{matrix}\right\} y=-17+8=-9$
De coördinaten van $B$ zijn dus $(17,-9)$ .

De cirkel heeft twee snijpunten met de $x$ -as. Dit zijn de punten $C(-4,0)$ en $D(14,0)$ . In figuur 2 zijn de stralen $MC$ en $MD$ getekend. Figuur 2 staat vergroot op de uitwerkbijlage.

Opdracht 4: (6 punten)
Bereken $\angle CMD$ . Geef je eindantwoord in graden en rond af op één decimaal. Je kunt hierbij de uitwerkbijlage gebruiken.

Aanpak:

We willen de hoek $\angle CMD$ bepalen. Dit betekent dat we allereerst de punten $C$ , $M$ en $D$ nodig hebben. De coördinaten van $C$ en $D$ zijn gegeven, maar die van $M$ moeten we eerst berekenen. Dat kunnen we doen door $x^2+y^2-10x+16y=56$ met kwadraat afsplitsen om te schrijven naar de vorm $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ . Hierbij geldt dan dat het middelpunt $M(a,b)$ is.

Zodra we alle coördinaten hebben, zijn er vele manieren om naar het antwoord te komen. Hieronder staat een korte beschrijving van de vijf manieren die ik heb uitgewerkt:

We kunnen de lengtes van $CD$ , $CM$ en $DM$ met Pythagoras berekenen. Vervolgens kun je dan de hoek $\angle CMD$ met de cosinusregel berekenen, omdat je alle zijden in $\triangle CMD$ dan weet. Dit idee kun je nog iets versnellen, omdat je weet dat $CM=DM$ de straal van de cirkel is.
Je kunt de loodlijn van $M$ naar $CD$ trekken. In dit plaatje zijn alle zijdes te berekenen en kun je met SOS/CAS/TOA de hoek bij $M$ berekenen.
Je kunt de hellingshoek berekenen van de lijnen $CM$ en $DM$ . De hoeken die deze lijnen met elkaar maken is het verschil van deze hellingshoeken. Hierbij moet je goed opletten dat deze hoek een gestrekte hoek maakt met $\angle CMD$ . Op het einde moet je dus nog $180^{\circ}-\text{ANS}$ doen om op de juiste hoek uit te komen.
Je kunt de hoeken $\angle CDM$ en $\angle DCM$ berekenen (bijvoorbeeld met de hellingshoeken) en dan hoekensom driehoek gebruiken om de hoek $\angle CMD$ te krijgen.
Voor VWO-leerlingen: We kunnen de vectoren $\overrightarrow{MC}$ en $\overrightarrow{MD}$ opstellen en dan de formule gebruiken voor de hoek tussen twee vecotren. Die zegt in dit geval dat $\cos(\angle CMD)=\frac{\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}}{\left|\overrightarrow{MC}\right|\cdot \left \overrightarrow{MC}\right|}$ .

Naast deze uitwerkingen weten creatieve leerlingen ongetwijfeld nog meer manieren te verzinnen. Dat is bij veel meetkundeopdrachten zo. Het leert je vooral dat het bij deze opdrachten loont om gewoon bezig te gaan. Je hoeft niet de beste manier te vinden, maar alleen een manier die werkt!

Uitwerking met cosinusregel:

$x^2-10x+y^2+16y=56$
$(x-5)^2-25+(y+8)^2-64=56$
$(x-5)^2+(y+8)^2=145$
$M(5,-8)$ en $r=\sqrt{145}$
$CD=14--4=18$
Met de cosinusregel in $\triangle CMD$ geldt $18^2=(\sqrt{145})^2+(\sqrt{145})^2-2\cdot \sqrt{145}\cdot \sqrt{145}\cdot \cos(\angle CMD)$
$324=145+145-290\cos(\angle CMD)$
$34=-290\cos(\angle CMD)$
$\cos(\angle CMD)=-0{,}117\ldots$
$96{,}732\ldots^{\circ}$ .
Afgerond op één decimaal is dat $\angle CMD =96{,}7^{\circ}$

Uitwerking met hoek opdelen:

$x^2-10x+y^2+16y=56$
$(x-5)^2-25+(y+8)^2-64=56$
$(x-5)^2+(y+8)^2=145$
$M(5,-8)$ en $r=\sqrt{145}$
Noem $N=(5,0)$ , dan zijn $\triangle CNM$ en $\triangle DNM$ congruente rechthoekige driehoeken.
$CN=5--4=9$
$\sin(\angle CMN)=\frac{9}{\sqrt{145}}$
$\angle CMN=48{,}366\ldots^{\circ}$
$\angle CMD = 2\cdot \angle CMN = 2\cdot 48{,}366^{\circ}= 96{,}732\ldots^{\circ}$ .
Afgerond op één decimaal is dat $\angle CMD =96{,}7^{\circ}$ .

Uitwerking met verschil van hellingshoeken:

$x^2-10x+y^2+16y=56$
$(x-5)^2-25+(y+8)^2-64=56$
$(x-5)^2+(y+8)^2=145$
$M(5,-8)$
$a_{CM}=\frac{y_C-y_M}{x_C-x_M} = \frac{0--8}{-4-5}=-\frac{8}{9}$
$a_{DM}=\frac{y_D-y_M}{x_D-x_M} = \frac{0--8}{14-5}=\frac{8}{9}$
Voor de hellingshoek $\alpha$ van $CM$ geldt $\tan(\alpha)=-\frac{8}{9}$
$\alpha=-41{,}633\ldots^{\circ}$
Voor de hellingshoek $\beta$ van $DM$ geldt $\tan(\beta)=\frac{8}{9}$
$\beta=41{,}633\ldots^{\circ}$
$\alpha - beta = 41{,}633\ldots --41{,}633 = 83{,}267\ldots$
De hoek $\angle CMD$ vormt een gestrekte hoek met $\alpha-\beta$ . Er geldt dus $\angle CMD = 180^{\circ} - 83{,}267\ldots = 96{,}732\ldots^{\circ}$ .
Afgerond op één decimaal is dat $\angle CMD =96{,}7^{\circ}$

Uitwerking met hellingshoek en hoekensom driehoek:

$x^2-10x+y^2+16y=56$
$(x-5)^2-25+(y+8)^2-64=56$
$(x-5)^2+(y+8)^2=145$
$M(5,-8)$
$a_{DM}=\frac{y_D-y_M}{x_D-x_M} = \frac{0--8}{14-5}=\frac{8}{9}$
Voor de hellingshoek $\alpha$ van $DM$ geldt $\tan(\alpha)=\frac{8}{9}$
$\alpha=41{,}633\ldots^{\circ}$
Er geldt (vanwege overstaande hoeken) dat $\angle CDM = 41{,}633\ldots^{\circ}$
$\triangle CDM$ is gelijkbenig. Dus $\angle DCM=\angle CDM = 41{,}633\ldots^{\circ}$
Met hoekensom driehoek in $\triangle CDM$ krijgen we $\angle DCM = 180^{\circ} - 41{,}633\ldots^{\circ} - 41{,}633\ldots^{\circ}= 96{,}732\ldots^{\circ}$ .
Afgerond op één decimaal is dat $\angle CMD =96{,}7^{\circ}$

Uitwerking met hoek tussen vectoren (Voor VWO-leerlingen):

$x^2-10x+y^2+16y=56$
$(x-5)^2-25+(y+8)^2-64=56$
$(x-5)^2+(y+8)^2=145$
$M(5,-8)$
$\overrightarrow{MC}=\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9\\8\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{MD}=\begin{pmatrix}14\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\8\end{pmatrix}$
$\cos(\angle CMD)=\frac{\begin{pmatrix}-9\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}9\\8\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-9\\8\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}-9\\8\end{pmatrix}\right|}$
$\cos(\angle CMD)=\frac{-9\cdot 9+8\cdot 8}{\sqrt{9^2+8^2}\cdot \sqrt{9^2+8^2}}=-\frac{17}{145}$
$\angle CMD =96{,}7^{\circ}$

Pagina's: 12345678