Vectoren (VWO 6 wis B) – Pagina 7

Een hoek van 45 graden

Gegeven zijn het punt $P$ met coördinaten $(9,27)$ en de vector $\overrightarrow{OP}$ .
Ook zijn gegeven het punt $Q(a,b)$ en de vector $\overrightarrow{OQ}$ .
Voor $\overrightarrow{OQ}$ geldt: $\left|\overrightarrow{OQ}\right|=5\sqrt{5}$ .

Er zijn twee mogelijke posities van $Q$ , zodat geldt: $\angle(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ})=45^{\circ}$ .

Opdracht 17: (6 punten)
Bereken algebraïsch de mogelijke coördinaten van beide posities.

Aanpak:

We hebben twee gegevens over $\overrightarrow{OQ}$ gekregen:

$\left|\overrightarrow{OQ}\right|=5\sqrt{5}$
$\angle(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ})=45^{\circ}$

Dit soort type vragen kun je altijd op vele manieren oplossen. Voor mij ligt echter het meest voor de hand om als je twee gegevens gekregen hebt bij beide gegevens een vergelijking op te stellen. Vervolgens kun je de twee vergelijking samen oplossen als een stelsel van vergelijkingen. Hieronder staan hints over de vergelijkingen die je uit deze gegevens kunt krijgen en over het oplossen van het stelsel.

Hint voor vergelijking bij $\left|\overrightarrow{OQ}\right|=5\sqrt{5}$ :

De lengte $\left|\overrightarrow{OQ}\right|$ kun je berekenen met Pythagoras.

Hint voor vergelijking bij $\angle(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ})=45^{\circ}$ :

De hoek tussen twee vectoren $\overrightarrow{v}$ en $\overrightarrow{w}$ berekenen we altijd met $\cos(\angle(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}))=\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|\cdot |\overrightarrow{w}|}$ . Deze formule moet je dus nu ook invullen.

Hint voor stelsel van vergelijkingen:

Met de bovenstaande vergelijkingen krijg je het stelsel $\begin{cases}\frac{9a+27b}{\sqrt{9^2+27^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \sqrt{a^2+b^2}=5\sqrt{5}\end{cases}$ . In de eerste vergelijking zie je een $\sqrt{a^2+b^2}}$ staan. Die kun je met de tweede vergelijking meteen veranderen in $5\sqrt{5}$ . Vervolgens kun je $b$ vrijmaken om dat in $\sqrt{a^2+b^2}=5\sqrt{5}$ in te vullen.

Uitwerking met stelsel van vergelijkingen:

$OQ=\sqrt{a^2+b^2}$
$OQ=5\sqrt{5}$ geeft $\sqrt{a^2+b^2}=5\sqrt{5}$
$\overrightarrow{OQ}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$
$\cos(\angle(\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}))=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}}{\left|\overrightarrow{OP}\right|\cdot \left| \overrightarrow{OQ}\right|}$ geeft $\cos(45^{\circ})=\frac{\begin{pmatrix}9\\27\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}9\\27\end{pmatrix}\right|\cdot \left| \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\right|}$
$\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{9a+27b}{\sqrt{9^2+27^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2}}$
We moeten dus het stelsel $\begin{cases}\frac{9a+27b}{\sqrt{9^2+27^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \sqrt{a^2+b^2}=5\sqrt{5}\end{cases}$ oplossen.
De vergelijkingen combineren geeft $\frac{9a+27b}{\sqrt{810}\cdot 5\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ .
Beide kanten vermenigvuldigen met de noemer geeft $9a+27b=225$
$a+3b=25$
$a=25-3b$ invullen in $\sqrt{a^2+b^2}=5\sqrt{5}$ geeft $\sqrt{(25-3b)^2+b^2}=5\sqrt{5}$
$\sqrt{625-150b+9b^2+b^2}=5\sqrt{5}$
$\sqrt{10b^2-150b+625}=5\sqrt{5}$
Kwadrateren geeft $10b^2-150b+625=125$
$10b^2-150b+500=0$
$b^2-15b+50=0$
$(b-10)(b-5)=0$
$b=10\vee b=5$
$b=10$ geeft $a=25-3\cdot 10=-5$
$b=5$ geeft $a=25-3\cdot 5=10$
Conclusie: De mogelijke coördinaten van $Q$ zijn $(-5,10)$ en $(10,5)$ .

Uitwerking met hellingshoek en vector op lijn:

$a_{OP}=\frac{27}{9}=3$
Voor de hellingshoek $\alpha$ van $OP$ geldt $\tan(\alpha)=3$
$\alpha=\tan^{-1}(3)=71{,}565\ldots^{\circ}$
Een van de hellingshoek van $OQ$ is dan $71{,}565\ldots^{\circ}-45^{\circ}=26{,}565\ldots$
$a_{OQ}=\tan(26{,}565\ldots)=\frac{1}{2}$
Een vector op de lijn $y=\frac{1}{2}x$ is $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ .
De lengte van deze vectro is $\left|\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$ .
De vector $\overrightarrow{OQ_1}$ is $\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5$ keer zo lang. Dat geeft de vector $\overrightarrow{OQ_1}=5\cdot \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}$
De vector $\overrightarrow{OQ_2}$ krijgen we door $\overrightarrow{OQ_1}$ 90 graden naar links te draaien. Dat geeft $\overrightarrow{OQ_2}=\begin{pmatrix}-5\\10\end{pmatrix}$
Conclusie: De mogelijke coördinaten van $Q$ zijn $(-5,10)$ en $(10,5)$ .

Uitwerking met hellingshoek en cirkel:

$a_{OP}=\frac{27}{9}=3$
Voor de hellingshoek $\alpha$ van $OP$ geldt $\tan(\alpha)=3$
$\alpha=\tan^{-1}(3)=71{,}565\ldots^{\circ}$
Een van de hellingshoek van $OQ$ is dan $71{,}565\ldots^{\circ}-45^{\circ}=26{,}565\ldots$
$a_{OQ}=\tan(26{,}565\ldots)=\frac{1}{2}$
$Q_1$ ligt dus op de lijn $y=\frac{1}{2}x$ en bovendien ook op de cirkel $x^2+y^2=(5\sqrt{5})^2=125$ . Dit combineren geeft $x^2+(\frac{1}{2}x)^2=125$
$x^2+\frac{1}{4}x^2=125$
$1\frac{1}{4}x^2=125$
$x^2=100$
$x=10$ ( $x=-10$ voldoet niet, omdat de hellingshoek van $Q_1$ gelijk is aan $26{,}565\ldots$ en $Q_1$ dus een positief $x$ -coördinaat heeft).
$y=\frac{1}{2}\cdot 10 = 5$ geeft $Q_1(10,5)$ .
$\overrightarrow{OQ_1}=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}$
De vector $\overrightarrow{OQ_2}$ krijgen we door $\overrightarrow{OQ_1}$ 90 graden naar links te draaien. Dat geeft $\overrightarrow{OQ_2}=\begin{pmatrix}-5\\10\end{pmatrix}$
Conclusie: De mogelijke coördinaten van $Q$ zijn $(-5,10)$ en $(10,5)$ .

Uitwerking met loodrechte projectie:

Noem de loodrechte projectie van $Q$ op $OP$ het punt $S$ .
Dan is $\triangle OQS$ een 45-45-90-driehoek. Dat betekent dat $OS=\frac{OQ}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .
$OS=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{10}$
$P$ ligt op de lijn $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=t\cdot \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$
De lengte van $\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ is $\left|\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ .
De vector $\overrightarrow{OS}$ is $\frac{\frac{5}{2}\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{5}{2}$ keer zo lang. Dat geeft de vector $\overrightarrow{OS}=\frac{5}{2}\cdot \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\frac{1}{2}\\7\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ .
$\overrightarrow{OS}_L=\begin{pmatrix}-7\frac{1}{2}\\2\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OQ_1}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OS}_L=\begin{pmatrix}2\frac{1}{2}\\7\frac{1}{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-7\frac{1}{2}\\2\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\ 10\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OS}_R=\begin{pmatrix}7\frac{1}{2}\\-2\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OQ_2}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OS}_R=\begin{pmatrix}2\frac{1}{2}\\7\frac{1}{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7\frac{1}{2}\\-2\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\ 5\end{pmatrix}$
Conclusie: De mogelijke coördinaten van $Q$ zijn $(-5,10)$ en $(10,5)$ .

Uitwerking met loodrechte vectoren:

Laat $Q_1$ en $Q_2$ de mogelijke posities zijn van $Q$ .
Er zit een hoek van $2\cdot 45^{\circ}=90^{\circ}$ tussen $\overrightarrow{OQ_1}$ en $\overrightarrow{OQ_2}$ .
Aangezien $\overrightarrow{OQ_1}$ en $\overrightarrow{OQ_2}$ beide ook even lang zijn, geldt dat als $\overrightarrow{OQ_1}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{OQ_2}=\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}$ .
$\overrightarrow{Q_1Q_2}=\begin{pmatrix}b-a\\ -a-b\end{pmatrix}$
Vanwege symmetrie liggen $O$ en $P$ op de middelloodlijn van $Q_1$ en $Q_2$ . Daarom geldt $\overrightarrow{Q_1Q_2}\cdot \overrightarrow{OP}=0$
$\begin{pmatrix}b-a\\ -a-b\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}9\\27\end{pmatrix}=0$
$9(b-a)+27(-a-b)=0$
$9b-9a-27a-27b=0$
$-18b=36a$
$b=-2a$
Uit $\left|\overrightarrow{OQ}\right|=5\sqrt{5}$ volgt $a^2+b^2=(5\sqrt{5})^2=125$ .
$b=-2a$ substitueren in $a^2+b^2=125$ geeft $a^2+(-2a)^2=125$
$a^2+4a^2=125$
$5a^2=125$
$a^2=25$
$a=5\vee a=-5$
$a=5$ geeft $b=-2\cdot 5=-10$ , maar $Q_1(5,-10)$ voldoet niet, want dan is er een hoek van $180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$ graden in plaats van 45 graden.
$a=-5$ geeft $b=2\cdot -5=-10$ en dit geeft $Q_1(-5,10)$
$Q_2=(10,--5)=(10,5)$
Conclusie: De mogelijke coördinaten van $Q$ zijn $(-5,10)$ en $(10,5)$ .

Pagina's: 1234567891011