Vectoren (VWO 6 wis B) – Pagina 6

Een vierkant en vier vectoren

Gegeven is het vierkant $OABC$ met hoekpunten $O(0,0)$ , $A(1,0)$ , $B(1,1)$ en $C(0,1)$ . Verder zijn gegeven het punt $P(p,0)$ en het punt $Q(\frac{1}{p},0)$ , met $0<p<1$ .

In figuur 1 zijn de vectoren $\overrightarrow{CP}$ , $\overrightarrow{CA}$ en $\overrightarrow{CQ}$ voor een willekeurige waarde van $p$ weergegeven.

Opdracht 8: (6 punten)
Bewijs dat voor elke waarde van $p$ de hoek tussen de vectoren $\overrightarrow{CP}$ en $\overrightarrow{CA}$ gelijk is aan de hoek tussen de vectoren $\overrightarrow{CA}$ en $\overrightarrow{CQ}$ .

Aanpak:

Er staat het woord bewijs in deze opdracht. Dat betekent dat je geen sinus, cosinus of tangens met je rekenmachine mag uitrekenen. Bij het aantonen dat twee hoeken gelijk zijn, kun je echter wel op een andere manier een cosinus (of tangens) gebruiken. Als je namelijk weet dat $\cos(\text{hoek 1}) = \cos(\text{hoek2})$ moeten hoek1 en hoek 2 even groot zijn als ze beide kleiner zijn dan $180^{\circ}$ . Deze truc komt op het VWO examen vaker voor en dit is een mooie voorbeeldsom daarvan.

De meest voor de hand liggende manier om dit voor elkaar te krijgen, is om de hoeken $\angle ACP$ en $\angle ACQ$ te berekenen met de formule $\cos(\angle \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})=\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{w}\right|}$ . Als je dit echter met de vectoren $\overrightarrow{CP}=\begin{pmatrix}p\\-1\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ en $\overrightarrow{CQ}=\begin{pmatrix}\frac{1}{p}\\-1\end{pmatrix}$ doet, kun je voorzien dat je op het einde nog flink wat omschrijfwerk te doen hebt (zoals te zien is aan de tweede en derde oplossing). Dit komt, omdat in de ene vector $p$ voorkomt en in de andere vector een $\frac{1}{p}$ . Een mooie truc om dit te voorkomen is om de vector $\overrightarrow{CQ}$ eerst te vermenigvuldigen met $p$ . Dat maakt voor de grote van de hoek niet uit (zolang de vector dezelfde richting heeft, blijft de hoek hetzelfde), maar het maakt het rekenwerk een stuk eenvoudiger, omdat nu in beide vectoren een factor $p$ voorkomt (en geen $\frac{1}{p}$ ). Dit is een goede truc om te onthouden voor als je de cosinusregel wilt doen op vectoren waarin breuken zitten.

Uitwerking met herschalen van $\overrightarrow{CQ}$ :

$\overrightarrow{CP}=\begin{pmatrix}p\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CQ}=\begin{pmatrix}\frac{1}{p}\\-1\end{pmatrix}$
$\cos(\angle ACP)=\frac{\begin{pmatrix}p\\-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}p\\-1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right|}$
$\cos(\angle ACP)=\frac{p\cdot 1-1\cdot -1}{\sqrt{p^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2}}$
$\cos(\angle ACP)=\frac{p+1}{\sqrt{p^2+1}\cdot\sqrt{2}}$
De vector $p\cdot \overrightarrow{CQ} =\begin{pmatrix}1\\-p\end{pmatrix}$ heeft dezelfde richting als $\overrightarrow{CQ}$ .
$\cos(\angle ACQ)=\frac{\begin{pmatrix}1\\-p\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\-p\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right|}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{1\cdot 1-p\cdot -1}{\sqrt{1^2+(-p)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2}}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{1+p}{\sqrt{1+p^2}\cdot\sqrt{2}}$
We zien dat $\cos(\angle ACQ) = \frac{p+1}{\sqrt{p^2+1}\cdot\sqrt{2}} =\cos(\angle ACP)$
Aangezien de hoeken kleiner dan 180 graden zijn, volgt uit $\cos(\angle ACQ)=\cos(\angle ACP)$ ook dat $\angle ACQ = \angle ACP$ .

Uitwerking met $\cos(\angle CAQ})$ herschrijven:

$\overrightarrow{CP}=\begin{pmatrix}p\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CQ}=\begin{pmatrix}\frac{1}{p}\\-1\end{pmatrix}$
$\cos(\angle ACP)=\frac{\begin{pmatrix}p\\-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}p\\-1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right|}$
$\cos(\angle ACP)=\frac{p\cdot 1-1\cdot -1}{\sqrt{p^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2}}$
$\cos(\angle ACP)=\frac{p+1}{\sqrt{p^2+1}\cdot\sqrt{2}}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{\begin{pmatrix}\frac{1}{p}\\-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}\frac{1}{p}\\-1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right|}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{\frac{1}{p}\cdot 1-1\cdot -1}{\sqrt{(\frac{1}{p})^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2}}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{\frac{1}{p}+1}{\sqrt{\frac{1}{p^2}+1}\cdot\sqrt{2}}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{\frac{1}{p}+1}{\sqrt{\frac{1}{p^2}+1}\cdot\sqrt{2}}\cdot \frac{p}{p}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{1+p}{\sqrt{p^2}\cdot\sqrt{\frac{1}{p^2}+1}\cdot\sqrt{2}}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{1+p}{\sqrt{1+p^2}\cdot\sqrt{2}}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{1+p}{\sqrt{p^2+1}\cdot\sqrt{2}}=\cos(\angle ACP)$
Aangezien de hoeken kleiner dan 180 graden zijn, volgt uit $\cos(\angle ACQ)=\cos(\angle ACP)$ ook dat $\angle ACQ = \angle ACP$ .

Uitwerking met $\cos(\angle CAQ})=\cos(\angle CAP)$ gelijkstellen:

$\overrightarrow{CP}=\begin{pmatrix}p\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CQ}=\begin{pmatrix}\frac{1}{p}\\-1\end{pmatrix}$
$\cos(\angle ACP)=\frac{\begin{pmatrix}p\\-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}p\\-1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right|}$
$\cos(\angle ACP)=\frac{p\cdot 1-1\cdot -1}{\sqrt{p^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2}}$
$\cos(\angle ACP)=\frac{p+1}{\sqrt{p^2+1}\cdot\sqrt{2}}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{\begin{pmatrix}\frac{1}{p}\\-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}\frac{1}{p}\\-1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right|}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{\frac{1}{p}\cdot 1-1\cdot -1}{\sqrt{(\frac{1}{p})^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2}}$
$\cos(\angle ACQ)=\frac{\frac{1}{p}+1}{\sqrt{\frac{1}{p^2}+1}\cdot\sqrt{2}}$
We moeten bewijzen dat $\cos(\angle ACQ)=\cos(\angle ACP)$ .
Dat is $\frac{\frac{1}{p}+1}{\sqrt{\frac{1}{p^2}+1}\cdot\sqrt{2}}=\frac{p+1}{\sqrt{p^2+1}\cdot\sqrt{2}}$
Aan beide kanten keer $\sqrt{2}$ doen, geeft $\frac{\frac{1}{p}+1}{\sqrt{\frac{1}{p^2}+1}}=\frac{p+1}{\sqrt{p^2+1}}$
Kruiselings vermenigvuldigen geeft $(\frac{1}{p}+1)\cdot \sqrt{p^2+1}=(p+1)\sqrt{\frac{1}{p^2}+1}$
Kwadrateren (wat mag want beide kanten zijn positief) geeft $(\frac{1}{p}+1)^2\cdot (p^2+1)=(p+1)^2\cdot(\frac{1}{p^2}+1)$
$(\frac{1}{p^2}+\frac{2}{p}+1)\cdot (p^2+1)=(p^2+2p+1)\cdot(\frac{1}{p^2}+1)$
$1+\frac{1}{p^2}+2p+\frac{2}{p}+p^2+1=1+p^2+\frac{2}{p}+2p+\frac{1}{p^2}+1$
Aan beide kanten staan dezelfde termen. Er geldt dus inderdaad dat $\cos(\angle ACQ)=\cos(\angle ACP)$ .
Aangezien de hoeken kleiner dan 180 graden zijn, volgt uit $\cos(\angle ACQ)=\cos(\angle ACP)$ ook dat $\angle ACQ = \angle ACP$ .

Uitwerking met congruente driehoeken:

De richtingscoëfficiënt van $CQ$ is $a_{CQ}=\frac{1-0}{0-\frac{1}{p}} = -p$ .
De formule van $CQ$ is dus $y=-px+1$ .
Het $y$ -coördinaat van het snijpunt $R$ van $CQ$ en $AB$ is dus $y=-p\cdot 1+1=1-p$ .
We hebben $PA=1-p$ en $RA=1-p$ .
Er geldt $\angle CAP = \angle CAR = 45^{\circ}$ , omdat $AC$ een diagonaal van een vierkant is.
Tot slot geldt $CA=CA$ .
Uit de bovenstaande drie uitspraken volgt dat $\triangle ACP \cong \triangle ACQ$ .
Uit deze congruentie volgt dat $\angle ACR = \angle ACP$ .
Aangezien $\angle ACQ$ en $\angle ACR$ dezelfde hoek zijn, bewijst dit $\angle ACQ = \angle ACP$ .

$M$ is het midden van lijnstuk $PB$ . Zie figuur 2, waarin ook lijnstuk $PB$ en vector $\overrightarrow{QM}$ zijn getekend.

In figuur 2 is $p$ zo gekozen dat vector $\overrightarrow{QM}$ loodrecht staat op lijnstuk $PB$ .

Opdracht 9: (7 punten)
Bereken deze waarde van $p$ . Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Aanpak:

Let allereerst op dat de woorden exact, algebraïsch en bewijs niet in de opgave staan. Dit betekent dat ons doel is om een vergelijking te krijgen voor wanneer $\overrightarrow{QM}$ loodrecht staat op lijnstuk $PB$ . Zodra we die vergelijking hebben, kunnen we die met de grafische rekenmachine oplossen.

Voor het maken van de vergelijking hebben we vele mogelijkheden. We kunnen bijvoorbeeld gewoon alles uitvoeren in de volgorde dat het in de opdracht genoemd staat:

Druk de coördinaten van $M$ uit in $p$ .
Druk $\overrightarrow{QM}$ uit in $p$ .
$\overrightarrow{QM}$ staat loodrecht op $\overrightarrow{BP}$ als $\overrightarrow{QM}\cdot \overrightarrow{BP}=0$ . Stel daarmee dus een vergelijking op.

Uitwerking met inproduct is 0:

$M(\frac{1}{2}(p+1),\frac{1}{2}(0+1))=(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
$\overrightarrow{BP}=\begin{pmatrix}p\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p-1\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{QM}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{1}{p}\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{QM}\cdot \overrightarrow{BP} = 0$ geeft $\begin{pmatrix}\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}p-1\\-1\end{pmatrix}=0$
$(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\cdot (p-1)+\frac{1}{2}\cdot -1=0$
Voer in: $Y_1=(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{x})\cdot (x-1)+\frac{1}{2}\cdot -1$ .
Optie Root geeft $x\approx 0{,}539\ldots \vee x\approx 1{,}675\ldots$ .
Alleen de eerste oplossing voldoet, omdat in de vraag staat dat $0<p<1$ .
Afgerond op twee decimalen is dat $p\approx 0,54$ .

Uitwerking met $a_{BP}\cdot a_{MQ} = - 1$ :

$M(\frac{1}{2}(p+1),\frac{1}{2}(0+1))=(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
$a_{BP}=\frac{0-1}{p-1}=-\frac{1}{p-1}$
$a_{QM}=\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}-\frac{1}{p}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}-\frac{1}{p}}$
$a_{QM}\cdot a_{BP} = -1$ geeft $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}-\frac{1}{p}}\cdot -\frac{1}{p-1}=-1$
Voer in: $Y_1=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{x}}\cdot -\frac{1}{x-1}$ en $Y_2=-1$ .
Optie Intersect geeft $x\approx 0{,}539\ldots \vee x\approx 1{,}675\ldots$ .
Alleen de eerste oplossing voldoet, omdat in de vraag staat dat $0<p<1$ .
Afgerond op twee decimalen is dat $p\approx 0,54$ .

Uitwerking met middelloodlijn van vorm $y=a(x-p)+q$ :

$M(\frac{1}{2}(p+1),\frac{1}{2}(0+1))=(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
$a_{BP}=\frac{0-1}{p-1}=-\frac{1}{p-1}$
$a_{QM}=\frac{-1}{-\frac{1}{p-1}}=p-1$
De middelloodlijn gaat door $M$ . De formule is dus $y=(p-1)(x-\frac{1}{2}p-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}$ (let op dat je min het hele $x$ -coördinaat doet)
De lijn gaat door ook door $Q$ . Die invullen geeft $0=(p-1)(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}p-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}$
Voer in: $Y_1=(x-1)(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}$
Optie Root geeft $x\approx 0{,}539\ldots \vee x\approx 1{,}675\ldots$ .
Alleen de eerste oplossing voldoet, omdat in de vraag staat dat $0<p<1$ .
Afgerond op twee decimalen is dat $p\approx 0,54$ .

Uitwerking met middelloodlijn van vorm $y=ax+b$ :

$M(\frac{1}{2}(p+1),\frac{1}{2}(0+1))=(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
$a_{BP}=\frac{0-1}{p-1}=-\frac{1}{p-1}$
$a_{QM}=\frac{-1}{-\frac{1}{p-1}}=p-1$
$\left.\begin{matrix}y=(p-1)x+b\\ M(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2},\frac{1}{2})\end{matrix}\right\} \frac{1}{2}=(p-1)(\frac{1}{2}p+\frac{1}{2})+b$
$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}p-\frac{1}{2}p-\frac{1}{2}+b$
$b=1-\frac{1}{2}p^2$
$y=(p-1)x+1-\frac{1}{2}p^2$
De lijn gaat door ook door $Q$ . Die invullen geeft $0=(p-1)\cdot\frac{1}{p}+1-\frac{1}{2}p^2$
Voer in: $Y_1=(x-1)\cdot\frac{1}{x}+1-\frac{1}{2}x^2$
Optie Root geeft $x\approx 0{,}539\ldots \vee x\approx 1{,}675\ldots$ .
Alleen de eerste oplossing voldoet, omdat in de vraag staat dat $0<p<1$ .
Afgerond op twee decimalen is dat $p\approx 0,54$ .

Pagina's: 1234567891011