Vectoren (VWO 6 wis B) – Pagina 3

Vlieger

Gegeven zijn voor $a>0$ de punten $A(0, a)$ , $B(1, 0)$ , $C(0, -1)$ en $D(-1, 0)$ .
Vierhoek $ABCD$ is een vlieger. In figuur 1 is de vlieger getekend voor $a=2$ .

De middelloodlijn van een lijnstuk gaat door het midden van dat lijnstuk en staat loodrecht op dat lijnstuk. Voor $a=2$ gaat de middelloodlijn van lijnstuk $AB$ niet door $D$ .

Opdracht 16: (5 punten)
Bereken exact voor welke waarde van $a$ de middelloodlijn van lijnstuk $AB$ wél door $D$ gaat.

Aanpak:

Als we de vraag van boven naar beneden doorlezen, is het eerste onbekende wat geïntroduceerd wordt de middelloodlijn. We gaan dus als eerste daarvan de formule opstellen. Let op dat dit in het algemeen moet (dus niet voor $a=2$ ). De regel op het examen is dat je nooit de voorbeelden die ze voor letters geven in de tekst moet gebruiken, tenzij in de opdracht expliciet staat dat je het voor die waarde van $a$ mag berekenen. Hier staat juist het tegenovergestelde expliciet – namelijk dat het juist niet geldt voor $a=2$ .

Voor het opstellen van de middelloodlijn zet je de volgende stappen:

Je berekent het midden van $A$ en $B$ .
Je berekent de richtingscoëfficiënt van $AB$ .
Je berekent de richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn (loodrecht op $AB$ ).
Je stelt de formule op.

Vervolgens moet je nagaan voor welke waarde van $a$ deze lijn door het punt $D$ heengaat. Hiervoor vul je het punt $D$ in de formule in en los je op voor welke waarde van $a$ deze vergelijking klopt.

Overigens zijn er bij deze vraag genoeg alternatieve oplossingen. Ik heb twee van deze oplossingen toegevoegd waarbij je kijkt voor welke waarde van $a$ de lijnen $AB$ en $DM$ (met $M$ het midden van $AB$ ) loodrecht op elkaar staan toegevoegd.

Uitwerking met middelloodlijn van de vorm $y=a(x-p)+q$

Het midden van $A$ en $B$ is $M(\frac{1}{2}(0+1),\frac{1}{2}(a+0))=(\frac{1}{2},\frac{a}{2})$ .
$a_{AB}=\frac{a-0}{0-1}=-a$
De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is $\frac{-1}{-a}=\frac{1}{a}$ .
De formule van de middelloodlijn is dus $y=\frac{1}{a}(x-\frac{1}{2})+\frac{a}{2}$ .
Als we $D(-1,0)$ invullen in deze formule krijgen we $0=\frac{1}{a}(-1-\frac{1}{2})+\frac{a}{2}$ .
$0=-\frac{3}{2a}+\frac{a}{2}$
$\frac{3}{2a}=\frac{a}{2}$
$2a^2=6$
$a^2=3$
$a=\sqrt{3}$ (want $a>0$ en daarom voldoet $a=-\sqrt{3}$ niet).

Uitwerking met middelloodlijn van de vorm $y=ax+b$

Het midden van $A$ en $B$ is $M(\frac{1}{2}(0+1),\frac{1}{2}(a+0))=(\frac{1}{2},\frac{a}{2})$ .
$a_{AB}=\frac{a-0}{0-1}=-a$
De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is $\frac{-1}{-a}=\frac{1}{a}$ .
Voor de formule van de middelloodlijn geldt:
$\left.\begin{matrix}y=\frac{1}{a}x+b\\ (\frac{1}{2},\frac{a}{2})\end{matrix}\right\} \frac{a}{2}=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{2}+b$
$b= \frac{a}{2}-\frac{1}{2a}$ geeft $y=\frac{1}{a}x+\frac{a}{2}-\frac{1}{2a}$ .
Als we punt $D(-1,0)$ invullen in deze formule krijgen we $0=\frac{1}{a}\cdot -1+\frac{a}{2}-\frac{1}{2a}$ .
$0=-\frac{1}{a}+\frac{a}{2}-\frac{1}{2a}$ .
$0=-\frac{2}{2a}+\frac{a}{2}-\frac{1}{2a}$ .
$0=-\frac{3}{2a}+\frac{a}{2}$
$\frac{3}{2a}=\frac{a}{2}$
$2a^2=6$
$a^2=3$
$a=\sqrt{3}$ (want $a>0$ en daarom voldoet $a=-\sqrt{3}$ niet).

Uitwerking met $a_{AB}\cdot a_{DM}=-1$

Het midden van $A$ en $B$ is $M(\frac{1}{2}(0+1),\frac{1}{2}(a+0))=(\frac{1}{2},\frac{a}{2})$ .
$a_{AB}=\frac{a-0}{0-1}=-a$
$a_{MD}=\frac{\frac{a}{2}-0}{\frac{1}{2}--1}=\frac{a}{3}$
$a_{AB}\cdot a_{MD}=-1$ geeft $-a\cdot \frac{a}{3} = -1$
$-a^2=-3$
$a^2=3$
$a=\sqrt{3}$ (want $a>0$ en daarom voldoet $a=-\sqrt{3}$ niet).

Uitwerking met inproduct = 0

Het midden van $A$ en $B$ is $M(\frac{1}{2}(0+1),\frac{1}{2}(a+0))=(\frac{1}{2},\frac{a}{2})$ .
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-a\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{MD}=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{a}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\ \frac{a}{2}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{MD}=0$ geeft $1\cdot -\frac{3}{2}-a\cdot -\frac{a}{2}=0$
$-\frac{3}{2}+\frac{a^2}{2}=0$
$\frac{a^2}{2}=\frac{3}{2}$
$2a^2=6$
$a^2=3$
$a=\sqrt{3}$ (want $a>0$ en daarom voldoet $a=-\sqrt{3}$ niet).

In de hoekpunten van de vlieger bevinden zich puntmassa’s:

in punt $A$ met gewicht 2;
in zowel $B$ als $D$ met gewicht 1;
in punt $C$ met gewicht $a$ .

In figuur 2 zijn de vlieger, de puntmassa’s en het zwaartepunt $Z$ getekend voor het geval $a=1$ .
In figuur 3 zijn de vlieger, de puntmassa’s en het zwaartepunt $Z$ getekend voor het geval $a=2$ .

Wanneer $a$ groter wordt, verschuift het punt $A(0,a)$ over de $y$ -as omhoog en neemt het gewicht in $C$ toe. Ook het zwaartepunt $Z$ van de vier puntmassa ’s verandert dan van plaats. Wanneer $a$ onbegrensd toeneemt, nadert het zwaartepunt $Z$ tot een vast punt $P$ .

Opdracht 17: (4 punten)
Bewijs dat de $y$ -coördinaat van dat punt $P$ gelijk is aan 1.

Aanpak:

We moeten hier het zwaartepunt berekenen (weer in het algemeen voor $a$ en niet voor de voorbeelden $a=2$ of $a=3$ . Die zijn alleen ter illustratie).

Zodra we het zwaartepunt uitgedrukt hebben in $a$ staat er in de opdracht dat we moeten berekenen wat de $y$ -waarde van het zwaartepunt wordt als de waarde van $a$ onbegrensd toeneemt. Bij limieten hebben we geleerd dat dan gevraagd wordt naar $\displaystyle\lim_{a\to\infty} y_z$ . Die waarde bereken je dus. Let er daarbij op dat je de limiet pas mag weghalen als nergens meer oneindig gedeeld door oneindig staat.

Uitwerking:

De totale massa is $1+1+2+a=4+a$
$\overrightarrow{z}=\frac{1}{4+a}(1\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+a\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix})$
$\overrightarrow{z}=\frac{1}{4+a}(\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-a\end{pmatrix})$
$\overrightarrow{z}=\frac{1}{4+a}(\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix})$
$\overrightarrow{z}=\begin{pmatrix}0\\ \frac{a}{4+a}\end{pmatrix}$
$\displaystyle\lim_{a\to\infty} y_z = \lim_{a\to\infty}\frac{a}{4+a}=\lim_{a\to\infty} \frac{1}{\frac{4}{a}+1} = \frac{1}{0+1}=1$

Pagina's: 1234567891011