Vectoren (VWO 6 wis B) – Pagina 5

Wind aan zee

Wind heeft een richting en een snelheid. Daarom kan wind als een vector worden weergegeven. In de figuren bij deze opgave wordt een wind met een snelheid van 1 m/s weergegeven als een vector van 1 cm.

Op een warme zomerdag worden aan de kust de windrichting en de windsnelheid door twee processen bepaald:

de luchtstroming van een gebied met hoge luchtdruk naar een gebied met lage luchtdruk: dit is wind $\overrightarrow{w_d}$ .
de luchtstroming die ontstaat doordat de temperatuur boven zee anders is dan boven land: dit is wind $\overrightarrow{w_z}$ . We gaan er in deze opgave van uit dat deze wind loodrecht op de kustlijn staat en richting het land waait.

In figuur 1 is een voorbeeldsituatie getekend waarbij wind $\overrightarrow{w_d}$ in westerlijke richting waait.

De resulterende wind $\overrightarrow{w_r}$ is de wind zoals die wordt ervaren door iemand die zich aan de kust in punt $O$ bevindt. Er geldt: $\overrightarrow{w_r}=\overrightarrow{w_z}+\overrightarrow{w_d}$ .

Op de uitwerkbijlage is een deel van een kust getekend. Er geldt:

De wind $\overrightarrow{w_z}$ waait met een snelheid van 4 m/s landinwaarts.
De wind $\overrightarrow{w_d}$ waait met een snelheid van 6 m/s.
De resulterende wind $\overrightarrow{w_r}$ waait evenredig met de kustlijn.

Op basis van bovenstaande drie gegevens zijn er twee mogelijkheden voor $\overrightarrow{w_d}$ .

Opdracht 11: (4 punten)
Teken op de uitwerkbijlage deze twee vectoren $\overrightarrow{w_d}$ . Neem daarbij punt $O$ als beginpunt van $\overrightarrow{w_d}$ . Licht je aanpak toe.

Aanpak:

We zien in het plaatje een rechte hoek. Aangezien we de lengtes van $\overrightarrow{w_z}$ en $\overrightarrow{w_d}$ hebben, kunnen we met de stelling van Pythagoras ook de lengtes van $\overrightarrow{w_r}$ berekenen. Aangezien gegeven is dat $\overrightarrow{w_r}$ op de kustlijn ligt, geeft dit twee opties voor $\overrightarrow{w_r}$ .

Zodra je $\overrightarrow{w_r}$ getekend hebt, gebruik je dat $\overrightarrow{w_d}+\overrightarrow{w_z}=\overrightarrow{w_r}$ en dus $\overrightarrow{w_d}=\overrightarrow{w_r}-\overrightarrow{w_z}$ . Het verschil van de vectoren $\overrightarrow{w_r}$ en $\overrightarrow{w_z}$ geeft je dus de gevraagde vectoren.

NB: Bij deze vraag is er ook een alternatieve oplossing voor als je een passer bij je hebt. Laat dit een herinnering zijn dat een passer meenemen naar je toets zeker kan helpen!

Uitwerking (met Pythagoras):

Aangezien $\overrightarrow{w_r}$ en $\overrightarrow{w_z}$ loodrecht op elkaar staan, weten we dat $\left|\overrightarrow{w_r}\right|^2+\left|\overrightarrow{w_z}\right|^2=\left|\overrightarrow{w_d}\right|^2$ .
Dit geeft $\left|\overrightarrow{w_r}\right|^2+4^2=6^2$
$\left|\overrightarrow{w_r}\right|^2=20$
$\left|\overrightarrow{w_r}\right|=4{,}47\ldots$
Tekenen van de twee mogelijkheden van $\overrightarrow{w_r}$ met een lengte van $4{,}47 \text{cm}$ vanaf $O$ op de kustlijn.
Tekenen van $-\overrightarrow{w_z}$ vanuit de twee eindpunten van $\overrightarrow{w_r}$ .
De vectoren van de oorsprong naar deze eindpunten zijn de antwoorden $\overrightarrow{w_d}$ . Je plaatje hoort er dan zo uit te zien:

Uitwerking (met passer):

Als we vanaf het uiteinde van $\overrightarrow{w_z}$ de vectoren $\overrightarrow{w_d}$ tekenen, moeten we bij de eindpunten van de vectoren $\overrightarrow{w_r}$ komen.
Deze eindpunten zijn dus de snijpunten van de kustlijn met de cirkel met als middelpunt het uiteinde van $\overrightarrow{w_z}$ en straal 6.
Voor het tekenen van de cirkel en de snijpunten krijg je de eerste drie punten.
Tekenen van $-\overrightarrow{w_z}$ vanuit de twee eindpunten van $\overrightarrow{w_r}$ .
De vectoren van de oorsprong naar deze eindpunten zijn de antwoorden $\overrightarrow{w_d}$ . Je plaatje hoort er dan zo uit te zien:

Op een plek langs de Nederlandse kust (in figuur 2 het punt $O$ ) maakt de kustlijn een hoek van $30^{\circ}$ met het noorden. Op zekere dag waait de wind $\overrightarrow{w_d}$ met een snelheid van 5 m/s in zuidwesterlijke richting. De wind $\overrightarrow{w_z}$ heeft een snelheid van 3 m/s en staat loodrecht op de kustlijn. In figuur 2 zijn de lijn noord-zuid en de lijn oost-west de assen van het assenstelsel. De lijn door $O$ waar vector $\overrightarrow{w_d}$ op ligt, is gestippeld getekend; die maakt dus een hoek van $45^{\circ}$ met het noorden.

Opdracht 12: (5 punten)
Bereken algebraïsch de snelheid in m/s van de resulterende wind. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Aanpak:

Er is gegeven dat $\overrightarrow{w_d}+\overrightarrow{w_z}=\overrightarrow{w_r}$ . Het voelt dus ook logisch om de vector $\overrightarrow{w_z}$ te verplaatsen, zodat dit ook zichtbaar is in de afbeelding.

Je hebt dan in de driehoek met $\overrightarrow{w_d}$ , $\overrightarrow{w_z}$ en $\overrightarrow{w_r}$ drie gegevens. Je weet namelijk de lengten van $\overrightarrow{w_d}$ en $\overrightarrow{w_z}$ en kunt uit de gegevens ook de hoek tussen $\overrightarrow{w_d}$ en $\overrightarrow{w_z}$ uitrekenen.

Zodra je drie gegevens hebt, kun je met de sinusregel of cosinusregel de rest van de driehoek bepalen. In dit geval gebruik je de cosinusregel, omdat er twee zijden en een hoek gegeven zijn en je een derde zijde wilt berekenen (en de cosinusregel is met drie zijden en een hoek). Merk overigens op dat het feit dat er algebraïsch in de vraag staat ook een hint is dat er een oplossing met sinus, cosinus of tangens mogelijk is.

Een alternatieve oplossing is om uit de gegevens de kentallen van de vectoren $\overrightarrow{w_d}$ , $\overrightarrow{w_z}$ en daarmee $\overrightarrow{w_r}$ uit te rekenen.

Uitwerking (met cosinusregel):

Vector $\overrightarrow{w_z}$ maakt een hoek van $90^{\circ}-(45^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}$ met de stippellijn.
Als we de vector $\overrightarrow{w_z}$ verschuiven, zodat $\overrightarrow{w_d}+\overrightarrow{w_z}=\overrightarrow{w_r}$ krijgen we een driehoek met zijden van 5, 3 en $\left|\overrightarrow{w_z}\right|$ .
De hoek tussen de zijden van lengte 5 en lengte 3 is dan $75^{\circ}$ .
Met de cosinusregel geldt dan $\left|\overrightarrow{w_z}\right|^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos(75^{\circ})$
$\left|\overrightarrow{w_z}\right|^2=26{,}23\ldots$
De snelheid van de resulterende wind is $\left|\overrightarrow{w_z}\right|\approx 5,1$ m/s.

Uitwerking (met uitrekenen vectoren):

$\overrightarrow{w_d}$ maakt een hoek van $180^{\circ}+45^{\circ}=225^{\circ}$ met de positieve $x$ -as.
$\overrightarrow{w_d} = \begin{pmatrix}5 \cos(225^{\circ})\\ 5\sin(225^{\circ})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3{,}53\ldots\\-3{,}53\ldots\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{w_z}$ maakt een hoek van $-30^{\circ}$ met de positieve $x$ -as.
$\overrightarrow{w_z} = \begin{pmatrix}3 \cos(-30^{\circ})\\ 3\sin(-30^{\circ})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}59\ldots\\-1{,}5\ldots\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{w_r}=\overrightarrow{w_d}+\overrightarrow{w_z} =\begin{pmatrix}-3{,}53\ldots\\-3{,}53\ldots\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2{,}59\ldots\\-1{,}5\ldots\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0{,}93\ldots \\-5{,}03\ldots\end{pmatrix}$
$\left|\overrightarrow{w_z}\right|=\sqrt{(-0{,}93\ldots)^2+(-5{,}03\ldots)^2}\approx 5{,}1$

Pagina's: 1234567891011