Vectoren (VWO 6 wis B) – Pagina 8

Twee lijnstukken met eindpunt P

Gegeven zijn de punten $A(5,4)$ en $B(8,5)$ . Verder is een punt $P(p,q)$ gegeven dat niet samenvalt met $A$ of $B$ .
In figuur 1 en 2 zijn voor twee posities van $P$ de lijnstukken $AP$ en $BP$ getekend.

Punt $P$ kan zo worden gekozen, dat $P$ op de $x$ -as ligt en $AP$ en $BP$ even lang zijn.

Opdracht 11: (3 punten)
Bereken exact de $x$ -coördinaat van $P$ waarbij dit het geval is.

Aanpak:

In de zin boven de opgave staat twee dingen:

Het punt $P$ ligt op de $x$ -as. Daarom geldt $P(p,0)$ .
Er staat dat $AP$ en $BP$ even lang moeten zijn. Dat betekent dat $AP=BP$ moet gelden. In onze oplossing moeten we daarom eerst $AP$ en $BP$ uidrukken in $p$ en vervolgens deze uitdrukkingen gelijkstellen. Uit deze vergelijking kunnen we dan de gevraagde waarde van $p$ afleiden.

Uitwerking met $AP=BP$ :

$P(p,0)$
$AP=\sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2}=\sqrt{(5-p)^2+4^2}$
$BP=\sqrt{(x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2}=\sqrt{(8-p)^2+5^2}$
$AP=BP$ geeft $\sqrt{(5-p)^2+4^2}=\sqrt{(8-p)^2+5^2}$
$\sqrt{(5-p)^2+4^2}=\sqrt{(8-p)^2+5^2}$
$25-10p+p^2+16=64-16p+p^2+25$
$6p=48$
$p=8$
Conclusie: Het $x$ -coördinaat van $P$ waarbij $AP=BP$ is $x_P=8$ .

Uitwerking met behulp van middelloodlijn $AB$ :

Deze oplossing maakt gebruik van het feit dat alle punten $P$ op de middelloodlijn van $AB$ even ver van $A$ als van $B$ liggen. Het snijpunt van de middelloodlijn van $AB$ met de $x$ -as is dus het punt wat we zoeken.

Voor het midden $M$ van $AB$ geldt: $M(6{,}5 ; 4{,}5)$
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$
Loodrecht hierop staat de vector $\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$ .
Een vectorvoorstelling van de middelloodlijn van $AB$ is $\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6{,}5\\ 4{,}5\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\ -3\end{pmatrix}$
Voor het snijpunt van de middelloodlijn met de $x$ -as geldt: $0=4{,}5-3\lambda$
$3\lambda=4{,}5$
$\lambda=1{,}5$
Dit weer invullen in $x_P=6{,}5+\lambda\cdot 1$ geeft:
$x_P=6{,}5+1{,}5\cdot 1=8$
Conclusie: Het $x$ -coördinaat van $P$ waarbij $AP=BP$ is $x_P=8$ .

Vector $\overrightarrow{AP}$ wordt $90^{\circ}$ tegen de klok in om $A$ gedraaid. Het resultaat is vector $\overrightarrow{AC}$ .
Vector $\overrightarrow{BP}$ wordt $90^{\circ}$ met de klok mee om $B$ gedraaid. Het resultaat is vector $\overrightarrow{BD}$ .
Punt $M$ is het midden van lijnstuk $CD$ .
In figuur 3 en 4 zijn voor twee posities van $P$ de vectoren $\overrightarrow{AP}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{BP}$ en $\overrightarrow{BD}$ weergegeven. Ook zijn het lijnstuk $CD$ en punt $M$ weergegeven.

De coördinaten van $M$ zijn onafhankelijk van de positie van punt $P$ .

Opdracht 12: (6 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

Dit is het type examenvraag waarin je alles wat boven de vraag staat één voor één moet berekenen (of in dit geval correcter: in $p$ en $q$ moet uitdrukken). Dat doe je meestal in de volgorde dat ze geïntroduceerd worden in de vraag. In dit geval bereken je dus achtereenvolgens:

$\overrightarrow{AP}$
$\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{BP}$
$\overrightarrow{BD}$
De coördinaten van $C$ en $D$ (want lijnstuk $CD$ wordt genoemd)
Punt $M$

Uitwerking:

$\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p-5\\ q-4\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP_L}=\begin{pmatrix}-q+4\\p-5\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BP}=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p-8\\ q-5\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BP_R}=\begin{pmatrix}q-5\\-p+8\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-q+4\\p-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-q+9\\p-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}q-5\\-p+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q+3\\-p+13\end{pmatrix}$
$M=(\frac{1}{2}(x_C+x_D), \frac{1}{2}(y_C+y_D)) = (\frac{1}{2}(-q+9+q+3), \frac{1}{2}(p-1-p+13))$
$M=(\frac{1}{2}(12),\frac{1}{2}(12))= (6,6)$
Conclusie: De positie van $M$ hangt niet af van de positie van $P$ .

Pagina's: 1234567891011