Vectoren (VWO 6 wis B) – Pagina 10

Twee vierkanten op een kwartcirkel

Gegeven zijn de punten $A(1,0)$ en $B(0,1)$ . Punt $C$ bevindt zich op de kwartcirkel door $A$ en $B$ met middelpunt $O(0,0)$ . Op de lijnstukken $AC$ en $BC$ worden twee vierkanten $ADEC$ en $BCFG$ getekend. Zie figuur 1.

De grootte van hoek $AOC$ (in radialen) noemen we $t$ , met $0<t<\frac{1}{2}\pi$ . Punt $C$ heeft dus coördinaten $(\cos(t),\sin(t))$ .

Er is een waarde van $t$ waarvoor de oppervlakte van vierkant $ADEC$ twee keer zo groot is als de oppervlakte van vierkant $BCFG$ .

Opdracht 16: (5 punten)
Bereken deze waarde van $t$ . Rond je eindantwoord af op twee decimalen.

Aanpak:

De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan de zijde van het vierkant in het kwadraat. We moeten dus van zowel $ADEC$ als $BCFG$ een zijde berekenen. De logische kandidaten hiervoor zijn $AC$ en $BC$ . Het berekenen van deze zijden kan op meerdere manieren:

We weten de coördinaten van $A$ en $C$ (uitgedrukt in de variabele $t$ ). We kunnen dus met de stelling van Pythagoras de afstand van $AC$ uitdrukken in $t$ met $AC= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$ .
We weten in de driehoek $\triangle OAC$ twee zijden ( $OA=OC=1$ ) en we hebben de hoek $\angle AOC=t$ . We kunnen dus met de cosinusregel $AC$ uitdrukken in $t$ .

Zodra we de oppervlakten van $ADEC$ en $BCFG$ hebben, moeten we de vergelijking $\text{opp}(ADEC)=2\cdot \text{opp}(BCFG)$ oplossen (want de oppervlakte van $ADEC$ moet twee keer zo groot zijn dan die van $BCFG$ ). Aangezien er geen algebraïsch, exact of bewijs in de vraag staat, mag dat gewoon met de GR. Mijn advies is om dit in te voeren zonder eerst de uitdrukking te vereenvoudigen. Dan maak je geen fouten bij het vereenvoudigen en bespaar je waarschijnlijk ook nog tijd.

Uitwerking met Pythagoras:

$AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(\cos(t)-1)^2+(\sin(t))^2}$
$\text{opp}(ADEC)=AC^2=(\cos(t)-1)^2+(\sin(t))^2$
$BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}=\sqrt{(\cos(t))^2+(\sin(t)-1)^2}$
$\text{opp}(BCFG)=BC^2=(\cos(t))^2+(\sin(t)-1)^2$
We moeten oplossen $\text{opp}(ADEC)=2\cdot \text{opp}(ADEC)$
Dat geeft $(\cos(t)-1)^2+(\sin(t))^2=2((\cos(t))^2+(\sin(t)-1)^2)$
Voer in $\begin{cases}Y_1=(\cos(x)-1)^2+(\sin(x))^2 \\ Y_2=2((\cos(x))^2+(\sin(x)-1)^2)\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=0{,}927\ldots$
Conclusie: Afgerond op twee decimalen is het antwoord $t\approx 0{,}93$ .

Uitwerking met cosinusregel:

Met de cosinusregel in $\triangle OAC$ geldt:
$AC^2=1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos(t)=2-2\cos(t)$
$\angle BOC = \angle AOB -\angle AOC = \frac{1}{2}\pi - t$
Met de cosinusregel in $\triangle OBC$ geldt:
$BC^2=1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos(t)=2-2\cos(\frac{1}{2}\pi-t)$
$\text{opp}(ADEC)=AC^2=2-2\cos(t)$
$\text{opp}(BCFG)=BC^2=2-2\cos(\frac{1}{2}\pi-t)$
$AC^2=2BC^2$ geeft $2-2\cos(t)=2(2-2\cos(\frac{1}{2}\pi-t))$
Voer in $\begin{cases}Y_1=2-2\cos(x) \\ Y_2=2(2-2\cos(\frac{1}{2}\pi-x))\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=0{,}927\ldots$
Conclusie: Afgerond op twee decimalen is het antwoord $t\approx 0{,}93$ .

In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid met vector $\overrightarrow{OF}$ .

Voor elke waarde van $t$ met $0<t<\frac{1}{2}\pi$ geldt: $\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}1-\sin(t)+\cos(t)\\ \sin(t)+\cos(t)\end{pmatrix}$

Opdracht 17: (4 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

We hebben geleerd dat als we de coördinaten van $\overrightarrow{OF}$ willen berekenen we op zoek moeten naar een route van $O$ naar $F$ over relatief eenvoudig te berekenen lijnstukken. In dit geval ligt de route $O - C - F$ het meest voor de hand. Er geldt daarmee dus $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CF}$ .

De taak is dan vervolgens om eerst $\overrightarrow{OC}$ en $\overrightarrow{CF}$ in $t$ uit te drukken. Dat is bij $\overrightarrow{OC}$ relatief eenvoudig, want we weten al de coördinaten van $O$ en $C$ . Van $F$ hebben we niet de coördinaten. We hebben echter wel de coördinaten van de hoekpunten $B$ en $C$ in het vierkant $BCFG$ . We kunnen dus eerst $\overrightarrow{CB}$ berekenen en die 90 graden naar rechts draaien om $\overrightarrow{CF}$ te krijgen. Daarbij hebben we geleerd dat als we de vector $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ naar rechts draaien we de vector $\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}$ krijgen.

Tot slot kunnen we $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CF}$ invullen om op de gevraagde formule uit te komen. Hierbij heb ik twee waarschuwingen:

Bij bewijs-vragen staat het eindantwoord er al. Dit betekent dat je heel precies moet zijn met het laten zien hoe je aan je laatste stappen komt. Je moet de nakijker namelijk 100 procent overtuigen dat je het eindantwoord niet overgeschreven hebt. De volgende uitwerking is bijvoorbeeld maar 2 punten waard, omdat niet zichtvaar is dat de leerling $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CF}$ heeft gedaan en ook niet zichtbaar is dat de laatste stap niet overgeschreven is.

2. Bij bewijsvragen moet je zorgen dat je eindantwoord precies overeenkomt met wat je moet bewijzen (en de termen niet bijvoorbeeld in een andere volgorde staan). Mijn examentip blijft in dit soort gevallen dan ook om na het beantwoorden van de vraag nog een keer de vraag na te lezen en te controleren of je precies het antwoord gegeven hebt waarom de vraag vraagt.

Uitwerking:

$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\cos(t)\\ \sin(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\cos(t)\\1-\sin(t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB_R}=\begin{pmatrix}1-\sin(t)\\ \cos(t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CF}$
$\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}\cos(t)\\ \sin(t)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1-\sin(t)\\ \cos(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\sin(t)+\cos(t)\\ \sin(t)+\cos(t)\end{pmatrix}$

Pagina's: 1234567891011