Cirkels (VWO 6 wis B) – Pagina 5

Lijnen door de oorsprong en een cirkel

Gegeven is cirkel $c$ met middelpunt $(1, 7)$ en straal 5.

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = t\cdot \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ is een vectorvoorstelling van een lijn $k$ door de oorsprong.

Lijn $k$ snijdt cirkel $c$ in twee punten.

Opdracht 1: (5 punten)
Bereken exact de coördinaten van deze snijpunten.

Aanpak:

Bij snijpunten van een lijn met een cirkel substitueren we altijd de lijn in de cirkel. We kunnen dat hier meteen doen met de vectorvoorstelling $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = t\cdot \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ door $x=t$ en $y=2t$ te substitueren.

Als je het niet zo hebt op vectorvoorstellingen kun je in plaats van de bovenstaande substitutie ook eerst de vectorvoorstelling omschrijven naar de vorm $y=ax+b$ om vervolgens die lijn te substitueren in de cirkel.

Uitwerking met vectorvoorstelling substitueren in cirkel:

De formule van de cirkel is $(x-1)^2+(y-7)^2=25$
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = t\cdot \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ substitueren in de cirkel geeft $(t-1)^2+(2t-7)^2=25$
$t^2-2t+1+4t^2-28t+49=25$
$5t^2-30t+25=0$
$t^2-6t+5=0$
$(t-1)(t-5)=0$
$t=1\vee t=5$
$t=1$ geeft $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
$t=5$ geeft $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=5\cdot \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}$
De coördinaten zijn $(1,2)$ en $(5,10)$ .

Uitwerking met eerst $k$ omschrijven naar $y=ax+b$ :

De formule van de cirkel is $(x-1)^2+(y-7)^2=25$
De richtingscoëfficiënt van lijn $k$ is $a=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{1} = 2$ .
Lijn $k$ gaat door de oorsprong, dus $y=2x$ .
$y=2x$ substitueren in de cirkel geeft $(x-1)^2+(2x-7)^2=25$
$x^2-2x+1+4x^2-28x+49=25$
$x^2-30x+25=0$
$x^2-6x+5=0$
$(x-1)(x-5)=0$
$x=1\vee x=5$
$x=1$ geeft $y=2\cdot 1=2$
$x=5$ geeft $y=2\cdot 5=10$
De coördinaten zijn $(1,2)$ en $(5,10)$ .

Pagina's: 1234567891011