Cirkels (VWO 6 wis B) – Pagina 11

Cirkels in een cirkel

Gegeven is de cirkel $c_1$ met middelpunt $M$ en straal 3.
Verder zijn gegeven de cirkels $c_2$ , $c_3$ en $c_4$ , zó dat geldt:

Cirkels $c_2$ , $c_3$ en $c_4$ raken cirkel $c_1$ .
Cirkel $c_2$ heeft middelpunt $N$ en straal 2.
Cirkel $c_3$ heeft middelpunt $P$ en straal $r$ .
Cirkel $c_4$ heeft middelpunt $Q$ en straal $r$ .
Cirkel $c_3$ en $c_4$ raken elkaar in punt $S$ .
Cirkels $c_3$ en $c_4$ raken $c_2$ .

Zie de figuur.

Er geldt: $MS=\sqrt{9-6r}$

Opdracht 6: (3 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

We moeten iets met de zijde $MS$ . Dat betekent dat we een driehoek nodig hebben waar deze zijde in voorkomt. Een natuurlijke manier om dat te doen, is door de driehoek $\triangle MQS$ te tekenen. Hierbij is al gegeven dat $QS=r$ . Om $MS$ te berekenen, moeten we dan nog de lengte van $MQ$ uitdrukken in $r$ . Aangezien $M$ en $Q$ echter de middelpunten van rakende cirkels zijn, kunnen we dit gewoon doen door het verschil van de stralen te nemen. Er geldt dus $MQ=3-r$ .

Tot slot lijkt in het plaatje $\angle MSQ=90^{\circ}$ . Dit mag je van de examenmakers aannemen. De reden dat het waar is, is omdat zowel $M$ en $S$ even ver van $P$ als $Q$ liggen. Je hebt geleerd dat de punten die even ver van $P$ als [/latex]Q[/latex] de middelloodlijn vormen en dus is $\angle MSQ=90^{\circ}$ .

Als je eenmaal weet (of aanneemt) dat $\angle MSQ=90^{\circ}$ kun je met de stelling van Pythagoras in driehoek $\triangle MSQ$ de zijde $MS$ uitdrukken in $r$

Uitwerking:

$QS[latex]r$
$MQ=3-r$ (afstand tussen middelpunt is verschil in stralen)
Er geldt $\angle MSQ=90^{\circ}$ (je verliest geen punten als je geen toelichting geeft. De reden dat dit waar is, is omdat $M$ en $S$ beide even ver van $P$ als $Q$ liggen. De lijn $MS$ is daarom de middelloodlijn van $PQ$ ).
De stelling van Pythagoras in $\triangle MQS$ geeft $MS^2=(3-r)^2-r^2$
$MS^2=9-6r+r^2-r^2$
$MS^2=9-6r$
$MS=\sqrt{9-6r}$

Er geldt verder dan $MN=1$ .

Opdracht 7: (6 punten)
Bereken exact de waarde van $r$ .

Aanpak:

In de vorige opdracht moesten we bewijzen dat $MS=\sqrt{9-6r}$ . Daarnaast staat boven de opdracht dat $MN=1$ . Deze twee gegevens zullen we voor deze opdracht nodig hebben en de natuurlijke manier om die te combineren, is door te zeggen dat $NS=MS+MN=\sqrt{9-6r}+1$ .

Daarnaast is de standaardtruc bij cirkels om de middelpunten te verbinden en te gebruiken dat de afstand gelijk is aan de som van de stralen (of het verschil van de stralen). Vaak kun je dan iets met deze lengtes met de stelling van Pythagoras. Dat was de truc in opdracht 6 en eigenlijk moeten we hier weer hetzelfde doen. We doen dat echter nu in $\triangle NQS$ , omdat we nu iets willen met de zijde $NS$ .

In $\triangle NQS$ weten we naast $NS=\sqrt{9-6r}+1$ ook $QS=r$ en hebben we $NQ=2+r$ (de afstand tussen twee middelpunten is de som van de twee stralen). Met de stelling van Pythagoras krijgen we dus een vergelijking die we kunnen oplossen. Dat doe je door eerst haakjes uit te werken. Vervolgens wil je bij een wortelvergelijking de wortel eerst isoleren en dan kwadrateren. Dit levert je uiteindelijk een waarde van $r$ op.

Uitwerking:

$NQ=2+r$ (de som van de stralen)
$NS=MS+MN=\sqrt{9-6r}+1$
De stelling van Pythagoras in $\triangle NQS$ geeft $(\sqrt{9-6r}+1)^2=(2+r)^2-r^2$ .
$9-6r+2\sqrt{9-6r}+1=4+4r+r^2-r^2$
$2\sqrt{9-6r}=10r-6$
$\sqrt{9-6r}=5r-3$
Kwadrateren geeft $9-6r=25r^2-30r+9$
$25r^2-24r=0$
$r(25r-24)=0$
$r=0$ voldoet niet, dus $25r=24$
$r=\frac{24}{25}$

Pagina's: 1234567891011