Goniometrie (HAVO 5 wis B) – Pagina 2

Sinus

Op het domein $[-\frac{8}{7}, \frac{8}{7}]$ wordt de functie $f$ gegeven door $f(x)=3\sin(\pi x)$ . De lijn $l$ is de lijn met vergelijking $y=\frac{3}{2}$ . Lijn $l$ snijdt de grafiek van $f$ in de punten $P$ en $Q$ . Zie figuur 1.

Opdracht 1: (3 punten)
Bereken exact de $x$ -coördinaten van $P$ en $Q$ .

Aanpak:

$P$ en $Q$ zijn snijpunten van $f$ en $l$ . We moeten dus $3\sin(\pi x)=\frac{3}{2}$ oplossen. Na het oplossen zijn de eerste twee positieve antwoorden de gevraagde $x$ -coördinaten.

Uitwerking:

$3\sin(\pi x)=\frac{3}{2}$
$\sin(\pi x)=\frac{1}{2}$
$\pi x = \frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi \vee \pi x = \frac{5}{6}\pi +k\cdot 2\pi$
$x = \frac{1}{6} + 2k \vee x=\frac{5}{6} + 2k$
Dus $x_P=\frac{1}{6}$ en $x_Q=\frac{5}{6}$

De grafiek van $f$ snijdt de positieve $x$ -as in het punt $A$ . De grafiek van $f$ heeft een top rechts van de $y$ -as. Dit is punt $T$ . De punten $A$ en $T$ zijn in figuur 2 aangegeven.

Er bestaat één derdegraadsfunctie $g$ waarvoor geldt:

het functievoorschrift is van de vorm $g(x)=ax^3+bx$ én
de grafiek gaat door $A$ en $T$ .

De grafiek van $g$ is gestippeld getekend in figuur 2.

Uit bovenstaande gegevens volgt: $a+b=0$ en $\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=3$ .

Opdracht 2: (4 punten)
Toon dit aan.

Aanpak:

In de tekst wordt eerst het punt $A$ geïntroduceerd. Dat is het snijpunt van $f$ met de $x$ . Deze kun je dus berekenen met $f(x)=0$ . Sneller is echter om je te realiseren dat het punt $A$ een halve periode na $x=0$ zit. Dit geeft je direct het $x$ -coördinaat van $A$ .

Vervolgens wordt $T$ geïntroduceerd. Het $y$ -coördinaat van $T$ kun je berekenen met evenwichtsstand plus amplitude (want het is een maximum). Vervolgens kun je het $x$ -coördinaat berekenen met dat het maximum na een kwart periode zit.

Tot slot kunnen we deze punten in de formule invullen om de vergelijkingen te krijgen om $a$ en $b$ te berekenen.

Uitwerking:

De periode is $\frac{2\pi}{\pi}=2$ .
$A$ is na een halve periode. Er geldt dus $x_A=\frac{1}{2}\cdot 2=1$ en dus $A(1,0)$ .
De amplitude van $f$ is 3.
$T$ zit na een kwart periode. Het $x$ -coördinaat is $x_T=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}$ .
$A(1,0)$ invullen in $g(x)=ax^3+bx$ geeft $a+b=0$
$T(\frac{1}{2},3)$ invullen in $g(x)$ geeft $\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=3$

Alternatieve uitwerking:

$3\sin(\pi x)=0$
$\sin(\pi x)=0$
$\pi x = k\cdot \pi$
$x=k$
$k=1$ geeft $x_A =1$ en dus $A(1,0)$
De amplitude is 3, dus $y_T=3$ .
$3\sin(\pi x)=3$
$\sin(\pi x)=1$
$\pi x = \frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi$
$x=\frac{1}{2}+k\cdot 2$
Dus $T(\frac{1}{2},3)$
$A(1,0)$ invullen in $g(x)=ax^3+bx$ geeft $a+b=0$
$T(\frac{1}{2},3)$ invullen in $g(x)$ geeft $\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=3$

Opdracht 3: (3 punten)
Bereken exact de waarden van $a$ en $b$ .

Aanpak:

We moeten het stelsel $\left.\begin{matrix}\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=3\\ a+b=0\end{matrix}\right\}$ oplossen. Dat kan door bij de onderste vergelijking $a$ vrij te maken en die dan te substitueren in $\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=3$ .

Uitwerking:

$a+b=0$ geeft $a=-b$
$\left.\begin{matrix}\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=3\\ a=-b\end{matrix}\right\} \frac{1}{8}\cdot -b+\frac{1}{2}b=3$
$\frac{3}{8}b=3$
$b=8$
$\left.\begin{matrix}a=-b\\ b=8\end{matrix}\right\} a=-8$
Conclusie $a=-8$ met $b=8$

Pagina's: 12345678