Goniometrie (HAVO 5 wis B) – Pagina 7

Een functie met sinus

Op het domein $[0,6\pi]$ is de functie $f$ gegeven door $f(x)=x\cdot \sin(x)-\sin(x)$ .

Op het gegeven domein zijn de punten $O(0,0)$ , $P(1,0)$ , $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ , $U$ en $V$ de snijpunten van de grafiek van $f$ met de $x$ -as.
De punten $A$ en $B$ liggen op de grafiek van $f$ .
De $x$ -coördinaat van $A$ ligt midden tussen de $x$ -coördinaten van $R$ en $S$ .
De $x$ -coördinaat van $B$ ligt midden tussen de $x$ -coördinaten van $T$ en $U$ .
Zie figuur 1.

Uit de gegevens volgt: $x_A=2\frac{1}{2}\pi$ en $x_B=4\frac{1}{2}\pi$ .

Opdracht 15: (4 punten)
Toon met behulp van exacte berekeningen aan dat inderdaad uit de gegevens volgt dat $x_A=2\frac{1}{2}\pi$ en $x_B=4\frac{1}{2}\pi$ .

Aanpak:

Het is bij sommen altijd belangrijk om precies te doen wat in de opgave staat en niet alleen naar het plaatje te kijken. Mijn ervaring is dat er namelijk altijd leerlingen zijn die denken dat $A$ en $B$ de toppen van de grafiek zijn. Dit staat echter niet in de tekst en het is ook niet waar! Een belangrijke les is dus om geen aannames te doen op basis van iets dat in het plaatje waar lijkt te zijn.

Wat we wel moeten doen, is de opdracht van boven naar beneden uitvoeren. Hierbij worden eerst de snijpunten $O$ , $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ , $U$ en $V$ van de functie $f$ met de $x$ -as genoemd. Aangezien de $x$ -as de vergelijking $y=0$ heeft, lossen we dit op met $f(x)=0$ .

Voor het oplossen van de vergelijking $x\cdot \sin(x)-\sin(x)=0$ moet je opmerken dat $\sin(x)$ in deze vergelijking twee keer voorkomt. Als een term twee keer voorkomt, is de strategie vrijwel altijd om die buiten haakjes te halen. In dit geval maak je er dus $\sin(x)(x-1)=0$ van. Nu heb je een vergelijking van de vorm $A\cdot B=0$ en geldt dus $\sin(x)=0\vee x-1=0$ .

Na het oplossen van deze vergelijking, kun je $x_A$ berekenen door het gemiddelde van $x_R$ en $x_S$ te nemen. Dit doe je met de berekening $x_A=\frac{x_R+x_S}{2}$ . Zorg er hierbij voor dat je deze berekening expliciet opschrijft, omdat het antwoord al weggegeven is in de vraag. Altijd als dat zo is, moet je laatste stap er explicieter staan, omdat de nakijker zeker moet weten dat je dit berekend hebt en niet van de opdracht overgeschreven.

Uitwerking:

$f(x)=0$ geeft $x\cdot \sin(x)-\sin(x)=0$
$\sin(x)(x-1)=0$
$\sin(x)=0\vee x=1$
$\sin(x)=0$ geeft $x=k\cdot \pi$ (of $x=0+k\cdot 2\pi\vee x=\pi+k\cdot 2\pi$ )
Dus $x_Q=\pi$ , $x_R=2\pi$ , $x_S=3\pi$ , $x_T=4\pi$ , $x_U=5\pi$ en $x_V=6\pi$ .
$x_A=\frac{x_R+x_S}{2}=\frac{2\pi+3\pi}{2}=2\frac{1}{2}\pi$
$x_B=\frac{x_T+x_U}{2}=\frac{4\pi+5\pi}{2}=4\frac{1}{2}\pi$

Lijn $l$ is de lijn door de punten $A$ en $B$ . Zie figuur 2.

Lijn $l$ lijkt door $P(1,0)$ te gaan.

Opdracht 16: (4 punten)
Toon met behulp van exacte berekeningen aan dat $l$ door $P$ gaat.

Aanpak:

In de vorige vraag moesten we aantonen dat $x_A=2\frac{1}{2}\pi$ en $x_B=4\frac{1}{2}\pi$ . Bijna altijd als je zoiets moet aantonen of bewijzen, heb je die gegevens nodig voor de volgende vraag. Ik zet daarom vaak even een pijltje in de kantlijn van deze gegevens naar de volgende vraag om mijzelf daar aan te herinneren.

Hier moeten we die $x$ -waarden in $f(x)$ invullen om de $y$ -coördinaten van de punten $A$ en $B$ te krijgen. Voor de rest van de berekeningen is het fijn om in dit punt een uitdrukking als $2\frac{1}{2}\pi\cdot\sin(2\frac{1}{2}\pi)-\sin(2\frac{1}{2}\pi)$ te versimpelen voordat je er verder berekeningen mee gaat uitvoeren. In examenstand kan dit niet door de hele uitdrukking in je GR te stoppen. In plaats daarvan moet je $\sin(2\frac{1}{2}\pi)$ los in je GR stoppen of nog beter: de waarde hiervan kunnen beredeneren uit de exacte-waarden-cirkel. Je vindt dan $\sin(2\frac{1}{2}\pi)=1$ en dus $2\frac{1}{2}\pi\cdot\sin(2\frac{1}{2}\pi)-\sin(2\frac{1}{2}\pi)=2\frac{1}{2}\pi-1$ .

Vervolgens moeten we kijken of $P$ op de lijn door $A$ en $B$ ligt. Hiervoor moeten we natuurlijk eerst de formule van de lijn door $A$ en $B$ opstellen. Hierbij moet je er aan denken om $x_A$ en $y_A$ tussen haakjes te substitueren als je de richtingscoëfficiënt berekent met $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .

Zodra je de formule van de lijn hebt, vul je simpelweg de coördinaten van $P$ in en kijk je of je een kloppende vergelijking krijgt. Als dat het geval is, ligt punt $P$ op de lijn door $A$ en $B$ .

Uitwerking:

$f(2\frac{1}{2}\pi)=2\frac{1}{2}\pi\cdot \sin(2\frac{1}{2}\pi)-\sin(2\frac{1}{2}\pi) = 2\frac{1}{2}\pi-1$
$f(4\frac{1}{2}\pi)=4\frac{1}{2}\pi\cdot \sin(4\frac{1}{2}\pi)-\sin(4\frac{1}{2}\pi) = 4\frac{1}{2}\pi-1$
$a_l=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{4\frac{1}{2}\pi-1-(2\frac{1}{2}\pi-1)}{4\frac{1}{2}\pi-2\frac{1}{2}\pi}$
$a_l=\frac{4\frac{1}{2}\pi-1-2\frac{1}{2}\pi+1}{2\pi}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$
$\left.\begin{matrix}y=x+b\\ (2\frac{1}{2}\pi, 2\frac{1}{2}\pi-1)\end{matrix}\right\} 2\frac{1}{2}\pi-1=2\frac{1}{2}\pi +b$ geeft $b=-1$
$y=x-1$
$x=1$ invullen geeft $y=1-1=0$ .
Het punt $P(1,0)$ ligt dus op de grafiek van $f$ .

Pagina's: 12345678