Goniometrie (HAVO 5 wis B) – Pagina 6

Drie snijpunten

Op het domein $[0,3\pi]$ is de functie $f$ gegeven door $f(x)=-1+2\sin(x-\frac{2}{3}\pi)$ .

Op het gegeven domein is het punt $P$ de eerste top rechts van de $y$ -as van de grafiek van $f$ . Zie de figuur.

Opdracht 13: (4 punten)
Bereken exact de coördinaten van $P$ .

Aanpak:

We hebben een sinusoïde met een evenwichtsstand van $y=-1$ en een amplitude van 2. We hebben geleerd dat dit betekent dat de maximale $y$ -waarde gelijk is aan $\text{evenwichtsstand} + \text{amplitude} = -1+2=1$ en de minimale $y$ -waarde gelijk is aan $\text{evenwichtsstand} - \text{amplitude} =-1-2=-3$ . Aangezien punt $P$ een minimum is, geldt dus dat $y_P=-3$ .

Vervolgens zijn er twee manieren om het $x$ -coördinaat van $P$ te vinden. De meeste leerlingen doen dat door $f(x)=-3$ op te lossen. Iets sneller is om te realiseren dat het minimum bij een sinus een kwart periode voor het beginpunt zit. Als je dat doorhebt, kun je $x_P$ berekenen met $x_P=\text{beginpunt} - \frac{1}{4}\cdot \text{periode}$ . Dat is de alternatieve oplossing.

Uitwerking met vergelijking:

$y_P = -1-2=-3$
$-1+2\sin(x-\frac{2}{3}\pi)=-3$
$2\sin(x-\frac{2}{3}\pi)=-2$
$\sin(x-\frac{2}{3}\pi)=-1$
$x-\frac{2}{3}\pi=\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi \vee x-\frac{2}{3}\pi=1\frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi$
$x=1\frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi \vee x=2\frac{1}{6}\pi+k\cdot 2\pi$
De eerste oplossing hiervan is $x_P=\frac{1}{6}\pi$ .
De coördinaten van $P$ zijn dus $P(\frac{1}{6}\pi, -3)$ .

Uitwerking met redeneren met periode:

$y_P = -1-2=-3$
Het beginpunt is bij $x=\frac{2}{3}\pi$ .
De periode is $2\pi$ .
$P$ zit een kwart periode voor het beginpunt.
Dus $x_p=\frac{2}{3}\pi - \frac{1}{4}\cdot 2\pi =\frac{1}{6}\pi$ .
De coördinaten van $P$ zijn dus $P(\frac{1}{6}\pi, -3)$ .

Uitwerking met transformaties:

De onderstaande oplossing gebruikt dat we de grafiek van $f$ uit $y=\sin(x)$ krijgen door die eerst $\frac{2}{3}\pi$ naar rechts te schuiven, dan te vermenigvuldigen met factor 2 ten opzichte van de $x$ -as en dan nog 1 naar benden te schuiven.

De coördinaten van een minimum van $y=\sin(x)$ zijn $(-\frac{1}{2}\pi, -1)$ .
Verschuiving van $\frac{2}{3}\pi$ naar rechts, geeft $(\frac{1}{6}\pi,-1)$ .
Vermenigvuldiging met factor 2 ten opzichte van de $x$ -as geeft $(\frac{1}{6}\pi, -2)$ .
Verschuiving van 1 naar beneden levert de coördinaten $P(\frac{1}{6}\pi,-3)$ .

Uitwerking met afgeleide = 0 (alleen voor VWO-leerlingen):

De onderstaande oplossing gebruikt dat een top zit bij $\text{afgeleide} = 0$ . Om dit te kunnen gebruiken, moet je wel weten dat de afgeleide van $f(x)=\sin(x)$ gelijk is aan $f'(x)=\cos(x)$ .

$f'(x)=2\cos(x-\frac{2}{3}\pi)$
$f'(x)=0$ geeft $\cos(x-\frac{2}{3}\pi)=0$
$x-\frac{2}{3}\pi =\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$
$x=1\frac{1}{6}\pi +k\cdot \pi$
De eerste positieve oplossing is $x_P=\frac{1}{6}\pi$ .
$f(\frac{1}{6}\pi)=-3$ , dus $P(\frac{1}{6}\pi, -3)$

De punten $A$ , $B$ en $C$ zijn de drie snijpunten van de grafiek van $f$ met de $x$ -as. Lijnstuk $BC$ is $a$ keer zo lang als lijnstuk $AB$ .

Opdracht 14: (5 punten)
Bereken exact de waarde van $a$ .

Aanpak:

In de eerste zin boven de vraag wordt genoemd dat $A$ , $B$ en $C$ de snijpunten zijn van $f(x)$ met de $x$ -as. We moeten dan ook beginnen met het berekenen van deze snijpunten. Aangezien de $x$ -as de lijn $y=0$ is, doen we dit door $f(x)=0$ op te lossen. De eerste drie positieve oplossingen van deze vergelijking horen bij $A$ , $B$ en $C$ .

Vervolgens worden de zijden $AB$ en $BC$ genoemd. Aangezien dit horizontale lijnstukken zijn, kunnen we die simpelweg berekenen door het $x$ -coördinaat van het rechterpunt min het $x$ -coördinaat van het linkerpunt te doen. Zodra we de lengtes van $BC$ en $AB$ berekend hebben, kunnen we die invullen in $BC=a\cdot AB$ of $a=\frac{BC}{AB}$ om $a$ te berekenen.

Uitwerking:

$f(x)=0$ geeft $-1+2\sin(x-\frac{2}{3}\pi)=0$
$2\sin(x-\frac{2}{3}\pi)=1$
$\sin(x-\frac{2}{3}\pi)=\frac{1}{2}$
$x-\frac{2}{3}\pi = \frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi \vee x-\frac{2}{3}\pi = \frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$
$x=\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi \vee x=1\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi$
De eerste drie oplossingen zijn $x_A=\frac{5}{6}\pi$ , $x_B=1\frac{1}{2}\pi$ en $x_C=2\frac{5}{6}\pi$ .
$AB=x_B-x_A=1\frac{1}{2}\pi-\frac{5}{6}\pi=\frac{2}{3}\pi$
$BC=x_C-x_B=2\frac{5}{6}-1\frac{1}{2}\pi=1\frac{1}{3}\pi$
$a=\frac{BC}{AB}=\frac{1\frac{1}{3}\pi}{\frac{2}{3}\pi}=2$

Pagina's: 12345678