Goniometrie (HAVO 5 wis B) – Pagina 4

Sinusoïde en lijn

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=-1+\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)$ . De grafiek van $f$ is in figuur 1 weergegeven.

Er zijn vier waarden van $x$ in het interval $0\leq x\leq 2\pi$ waarvoor geldt $f(x)=-\frac{1}{2}$ .

Opdracht 6: (6 punten)
Bereken exact deze vier waarden van $x$ .

Aanpak:

We moeten de vergelijking $-1+\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)=-\frac{1}{2}$ oplossen op het domein $0\leq x\leq 2\pi$ . Dat is een basisvaardigheid waarbij we de volgende stappen zetten:

Schrijf de vergelijking om naar de vorm $\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)=\text{getal}$ .
Gebruik de eenheidscirkel om de vergelijking verder op te lossen.
Vul waarden van $k$ in om de twee oplossingen op het domein $[0,2\pi]$ te vinden.

Uitwerking:

$-1+\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)=-\frac{1}{2}$
$\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)=\frac{1}{2}$
$2x-\frac{1}{6}\pi=\frac{1}{6}\pi+k\cdot 2\pi\vee 2x-\frac{1}{6}\pi=\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$
$2x=\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi\vee 2x=\pi+k\cdot 2\pi$
$x=\frac{1}{6}\pi+k\cdot \pi\vee x=\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$
Op $0\leq x\leq 2\pi$ zijn de oplossingen $x=\frac{1}{6}\pi\vee x=\frac{1}{2}\pi\vee x=1\frac{1}{6}\pi \vee x=1\frac{1}{2}\pi$

De grafiek van $f$ raakt de $x$ -as in oneindig veel punten. Van deze raakpunten is het punt $A$ het punt met de kleinste positieve $x$ -coördinaat. Door $A$ gaat een stijgende lijn $l$ die een hoek van $75^{\circ}$ met de $x$ -as maakt. Punt $B$ is het snijpunt van lijn $l$ met de $y$ -as. Zie figuur 2.

Opdracht 7: (5 punten)
Bereken de afstand tussen $A$ en $B$ . Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Aanpak:

Als eerste wordt het snijpunt $A$ van $f$ met de $x$ -as geïntroduceerd. Deze berekenen we dus met $f(x)=0$ . Dat mogen we doen met het grafiek-menu van de GR, want er staat geen exact, algebraïsch of exact in de opgave. Let er daarbij wel op dat de GR in radialen moet staan (want vergelijkingen los je op in radialen).

Vervolgens kun je op twee manieren verdergaan. De alternatieve oplossing is om van boven naar beneden verder te gaan en de formule van lijn $l$ op te stellen met behulp van de kennis dat $a=\tan(\text{hellingshoek})$ (let op dat de hoek hier wel in graden is!). Vervolgens bereken je het begingetal door punt $A$ in te vullen. Hieruit krijg je punt $B$ en kun je met Pythagoras de afstand tussen $A$ en $B$ berekenen.

Een snellere oplossing is echter om in te zien dat je drie gegevens hebt in driehoek $\triangle OAB$ :

$\angle AOB = 90^{\circ}$ (gegeven)
$\angle OAB$ kun je berekenen met overstaande hoeken
$OA$ kun je berekenen met behulp van het $x$ -coördinaat van punt $A$

Met behulp van driehoek $\triangle OAB$ kun je dan zijde $AB$ berekenen:

Uitwerking:

Voer in: $Y_1=-1+\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)$
Optie root geeft $x=1{,}04719\ldots$
Vanwege overstaande hoeken is $\angle OAB=75^{\circ}$ .
$\cos(75^{\circ})=\frac{OA}{AB}$
$AB=\frac{1{,}04719\ldots}{\cos(75^{\circ})}=4{,}046\ldots$
Afgerond op twee decimalen is $AB$ gelijk aan $4{,}05$

Alternatieve uitwerking:

Voer in: $Y_1=-1+\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)$
Optie root geeft $x=1{,}04719\ldots$
Dus $A(1{,}04719\ldots, 0)$
De richtingscoëfficiënt van $l$ is $\tan(75^{\circ})=3{,}732\ldots$ .
$\left.\begin{matrix}y=3{,}732\ldots x+b \\ A(1{,}04719\ldots, 0) \end{matrix}\right\} 0=3{,}732\ldots \cdot 1{,}04719\ldots+b$
$0=3{,}908\ldots+b$
$b=-3{,}908\ldots$ , dus $B=(0,-3{,}908\ldots)$
$AB=\sqrt{(0-1{,}04719\ldots)^2+(-3{,}908\ldots-0)^2}=4{,}046\ldots$
Afgerond op twee decimalen is $AB$ gelijk aan $4{,}05$

We bekijken nu functie $g$ . Deze heeft de volgende eigenschappen:

De grafiek van $g$ is een sinusoïde.
De periode van de grafiek van $g$ is drie keer zo klein als de periode van de grafiek van $f$ .
De amplitude van de grafiek van $g$ is vier keer zo klein als de amplitude van de grafiek van $f$ .
Een laagste punt van de grafiek van $g$ valt samen met het snijpunt van de grafiek van $f$ met de $y$ -as. Zie figuur 3.

Functie $g$ heeft een functievoorschrift van de vorm $g(x)=d+a\cdot \cos(bx)$ . Hierin zijn $a$ , $b$ en $d$ getallen.

Opdracht 8: (5 punten)
Bereken exact voor elk van deze drie getallen een mogelijke waarde.

Aanpak:

We kunnen de informatie weer van boven naar beneden verwerken. De stappen zijn dan:

Als eerste berekenen we de periode van $g$ . Hiermee kunnen we $b$ berekenen met $b=\frac{2\pi}{\text{Periode}}$ .
Vervolgens staat er informatie gegeven over de amplitude van $g$ . Hiermee kun je $a$ berekenen. Het gemene hierbij is dat het beginpunt zit bij een minimum in plaats van een maximum. We hebben geleerd dat $a=-\text{amplitude}$ in plaats van $a=\text{amplitude}$ .
Tot slot staat dat een minimum van $g$ zit bij het snijpunt van $f$ met de $y$ -as. Het $y$ -coördinaat van dit punt is $f(0)$ . Vervolgens kun je de evenwichtsstand berekenen met $d=\text{minimum} + \text{amplitude}$ .

Uitwerking:

De periode van $f$ is $\frac{2\pi}{2}=\pi$ .
De periode van $g$ is $\frac{\pi}{3}=\frac{1}{3}\pi$ .
$b=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}\pi}=6$
De amplitude van $f$ is 1.
De amplitude van $g$ is dus $\frac{1}{4}$ .
Aangezien de grafiek bij het begin een minimum heeft in plaats van een maximum, is $a<0$ . Daarom geldt $a=-\frac{1}{4}$ .
$f(0)=-1+\sin(-\frac{1}{6}\pi)=-1\frac{1}{2}$
De evenwichtsstand is dus $d=-1\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-1\frac{1}{4}$ .

Pagina's: 12345678