Goniometrie (HAVO 5 wis B) – Pagina 8

Cosinus en lijnen

Op het domein $[0,3]$ is de functie $f$ gegeven door $f(x)=2\cos(3x)$ . Het punt $A$ is het meest links gelegen snijpunt van de grafiek van $f$ en de lijn met vergelijking $y=\sqrt{3}$ .
Lijn $k$ gaat door $O$ en $A$ . Zie figuur 1.

De richtingscoëfficiënt van $k$ is $\frac{18\sqrt{3}}{\pi}$ .

Opdracht 10: (4 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

Als we de vraag van boven naar onder lezen, zien we dat het eerste onbekende punt $A$ is. Dat is het snijpunt van $f(x)$ en $y=\sqrt{3}$ . We moeten daarom beginnen met $f(x)=\sqrt{3}$ op te lossen. De eerste positieve oplossing geeft het $x$ -coördinaat van $A$ .

Zodra we de coördinaten van $A$ hebben, moeten we de richtingscoëfficiënt $a$ van de lijn door $O$ en $A$ berekenen. Dat kan met de formule $a=\frac{y_A-y_O}{x_A-x_O}$ . Als je alles goed hebt gedaan, kom je uit op $a=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{18}\pi}$ . Op dit punt is het goed om te kijken naar het antwoord waar we naartoe moeten werken. Daar staat in plaats van een $\frac{1}{18}$ in de noemer een $18$ in de teller. Die vorm krijgen we door teller en noemer te vermenigvuldigen met $18$ .

Tot slot nog een algemene tip: op het examen komt het vaak voor dat je moet aantonen dat een bepaalde waarde (in dit geval de richtingscoëfficiënt) gelijk is aan een zekere uitdrukking. Bijna altijd krijg je dan veel punten voor een uitdrukking vinden voor die waarde en alleen het laatste punt voor jouw uitdrukking omschrijven naar de gewenste uitdrukking. Als je dus niet helemaal op hetzelfde uitkomt, streep dan dus nog niet meteen je antwoord door. Wellicht is het gewoon goed, maar moet het (voor alleen het laatste punt) nog omgeschreven worden.

Uitwerking:

$f(x)=\sqrt{3}$ geeft $2\cos(3x)=\sqrt{3}$
$\cos(3x)=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$3x=\frac{1}{6}\pi+k\cdot 2\pi \vee 3x=1\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$
$x=\frac{1}{18}\pi+k\cdot \frac{2}{3}\pi \vee x=\frac{11}{18}\pi +k\cdot \frac{2}{3}\pi$
$x_A=\frac{1}{18}\pi$ hoort bij het eerste snijpunt, dus $A(\frac{1}{18}\pi, \sqrt{3})$ .
De richtingscoëfficiënt is $a=\frac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{18}\pi}$
Teller en noemer vermenigvuldigen met 18 geeft $a=\frac{18\sqrt{3}}{\pi}$ .

Het punt $T$ is de meest rechts gelegen top van de grafiek van $f$ . Lijn $l$ gaat door $O$ en $T$ . Zie figuur 2.

Opdracht 11: (7 punten)
Bereken algebraïsch $\angle AOT$ in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Aanpak:

We hebben geleerd dat als we de hoek tussen twee lijnen moeten berekenen we dit doen door eerst van beide lijnen de hellingshoek met een horizontale lijn te berekenen. Dat zijn in het plaatje hieronder de hoeken $\alpha$ en $\beta$ . De hoek tussen de lijnen is dan $\alpha-\beta$ .

Voor het berekenen van de hellingshoek hebben we de formule $\tan(\text{hellingshoek})=\text{richtingscoëfficiënt}$ geleerd. De richtingscoëfficiënt van $k$ is gegeven boven vraag 10. We hebben dus $\tan(\alpha)=\frac{18\sqrt{3}}{\pi}$ .

Om ook $\beta$ te berekenen, moeten we eerst de richtinscoëfficiënt van $l$ te weten komen. Daarvoor moeten we de coördinaten van $T$ weten. Aangezien $T$ een maximum is van $y=2\cos(3x)$ is $y_T$ gelijk aan de evenwichtsstand plus de amplitude. In dit geval geeft dat dus $y_T=0+2=2$ . Om het bijbehorende $x$ -coördinaat te berekenen kunnen we of de vergelijking $2\cos(3x)=2$ oplossen of aan de hand van de periode en het beginpunt beredeneren waar de eerste top rechts van de $y$ -as zit.

Uitwerking met vergelijking:

Voor de hellingshoek $\alpha$ die $k$ met de $x$ -as maakt, geldt $\tan(\alpha)=\frac{18\sqrt{3}}{\pi}\approx 9{,}923\ldots$
$\alpha=\tan^{-1}(9{,}923\ldots)=84{,}245\ldots^{\circ}$
De maximale waarde van $f(x)=2\cos(3x)$ is 2. Dus $y_T=2$ .
$2\cos(3x)=2$
$\cos(3x)=1$
$3x=k\cdot 2\pi$
$x=k\cdot \frac{2}{3}\pi$
$T$ is de eerste oplossing van $2\cos(3x)=2$ rechts van de $y$ -as en dus $x_T=\frac{2}{3}\pi$
$a_l = \frac{y_T-y_O}{x_T-x_O}=\frac{2-0}{\frac{2}{3}\pi-0}\approx 0{,}954\ldots$
Voor de hellingshoek $\beta$ die $l$ met de $x$ -as maakt, geldt $\tan(\beta)=0{,}954\ldots$
$\beta=\tan^{-1}(0{,}954\ldots)=43{,}679\ldots^{\circ}$
De gevraagde hoek is $\alpha-\beta = 84{,}245\ldots^{\circ} - 43{,}679\ldots^{\circ} = 40{,}566\ldots^{\circ}$ .
Afgerond op gehelen is het antwoord $\angle AOT = 41^{\circ}$ .

Uitwerking met redeneren met periode:

Voor de hellingshoek $\alpha$ die $k$ met de $x$ -as maakt, geldt $\tan(\alpha)=\frac{18\sqrt{3}}{\pi}\approx 9{,}923\ldots$
$\alpha=\tan^{-1}(9{,}923\ldots)=84{,}245\ldots^{\circ}$
Het beginpunt van $f$ is $(0,2)$ .
Aangezien $T$ een maximum is, geldt ook $y_T=2$ .
De periode van $f$ is $\frac{2\pi}{3}=\frac{2}{3}\pi$ .
Het punt $T$ is precies één periode verder dan het beginpunt en dus geldt $x_T=\frac{2}{3}\pi$ .
$a_l = \frac{y_T-y_O}{x_T-x_O}=\frac{2-0}{\frac{2}{3}\pi-0}\approx 0{,}954\ldots$
Voor de hellingshoek $\beta$ die $l$ met de $x$ -as maakt, geldt $\tan(\beta)=0{,}954\ldots$
$\beta=\tan^{-1}(0{,}954\ldots)=43{,}679\ldots^{\circ}$
De gevraagde hoek is $\alpha-\beta = 84{,}245\ldots^{\circ} - 43{,}679\ldots^{\circ} = 40{,}566\ldots^{\circ}$ .
Afgerond op gehelen is het antwoord $\angle AOT = 41^{\circ}$ .

Pagina's: 12345678