Goniometrie (HAVO 5 wis B) – Pagina 5

Een sinusoïde en nog een sinusoïde

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=3\sin(\frac{1}{4}\pi x)$ .

Het punt $A$ is het eerste snijpunt van de grafiek van $f$ met de positieve $x$ -as. Het punt $B$ is de derde top rechts van de $y$ -as.
De lijn $k$ gaat door $A$ en $B$ . In figuur 1 is de hoek $\alpha$ aangegeven die lijn $k$ met de $x$ -as maakt.

Opdracht 9: (6 punten)
Bereken algebraïsch hoe groot hoek $\alpha$ is. Geef je eindantwoord in gehele graden.

Aanpak:

Bij deze vraag kun je wederom alles berekenen in de volgorde dat het boven de opdracht geïntroduceerd wordt:

Punt $A$
Punt $B$
De richtingscoëfficiënt van lijn $k$ (met $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ )
De hellingshoek van lijn $k$ (met behulp van de formule $\tan(\text{hellingshoek})=\text{richtingscoëfficiënt}$ )

Voor het berekenen van $A$ en $B$ is de snelste manier om te bedenken dat $A$ een halve periode na het beginpunt zit en $B$ $1\frac{1}{4}$ periode na het beginpunt zit. Hiermee zijn de $x$ -coördinaten van deze punten snel te berekenen. Een alternatief wat meer werk is, is om de vergelijkingen $f(x)=0$ en $f(x)=3$ op te lossen (het $y$ -coördinaat van $B$ is 3, omdat die gelijk is aan evenwichtsstand plus amplitude).

Uitwerking:

De periode is $\frac{2\pi}{\frac{1}{4}\pi}=8$ .
Punt $A$ zit een halve periode na het beginpunt $(0,0)$ .
Er geldt dus $x_A=0+\frac{1}{2}\cdot 8= 4$
$A(4,0)$
Punt $B$ zit $1 \frac{1}{4}$ periode verder dan het beginpunt.
Dus $x_B=0+1\frac{1}{4}\cdot 8= 10$ .
$y_B=0+3=3$
$B(10,3)$
$a_k=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-0}{10-4}=\frac{1}{2}$
$\tan(\alpha)=\frac{1}{2}$
$\alpha=\tan^{-1}(\frac{1}{2})=26{,}5\ldots$
Afgerond op gehele graden is het antwoord $\alpha\approx 27^{\circ}$ .

Alternatieve uitwerking:

Voor punt $A$ geldt $3\sin(\frac{1}{4}\pi x)=0$ .
$\sin(\frac{1}{4}\pi x)=0$
$\frac{1}{4}\pi x=k\cdot 2\pi \vee \pi +k\cdot 2\pi$
$x=8k \vee 4+ 8k$
De eerste oplossing groter dan 0 is $x_A = 4$
$y_B=0+3=3$
Voor punt $B$ geldt $3\sin(\frac{1}{4}\pi x)=3$ .
$\sin(\frac{1}{4}\pi x)=1$
$\frac{1}{4}\pi x=\frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi$
$x=2+8k$
De tweede oplossing groter dan 0 is $x_B = 10$
$B(10,3)$
$a_k=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-0}{10-4}=\frac{1}{2}$
$\tan(\alpha)=\frac{1}{2}$
$\alpha=\tan^{-1}(\frac{1}{2})=26{,}5\ldots$
Afgerond op gehele graden is het antwoord $\alpha\approx 27^{\circ}$ .

In figuur 2 is de grafiek van $f$ getekend en ook de lijn met vergelijking $y=1\frac{1}{2}$ . Deze lijn heeft oneindig veel snijpunten met de grafiek van $f$ . Het eerste snijpunt rechts van de $y$ -as is $K$ , het vierde is $L$ .

In figuur 2 is met een stippellijn nog een sinusoïde weergegeven. Voor deze sinusoïde geldt:

De eerste top rechts van de $y$ -as valt samen met $K$ .
De derde top rechts van de $y$ -as valt samen met $L$ .
De sinusoïde raakt de lijn met vergelijking $y=-1$ .

De functie $g$ die bij de gestippelde grafiek hoort, heeft een functievoorschrift van de volgende vorm: $g(x)=a\cdot \cos(b(x-c))+d$ .

Hierin zijn $a$ , $b$ , $c$ en $d$ getallen.

Opdracht 10: (7 punten)
Bereken exact voor elk van deze vier getallen een mogelijke waarde.

Aanpak:

De punten $K$ en $L$ worden als eerste geïntroduceerd. Deze kunnen we berekenen door $3\sin(\frac{1}{4}\pi x)=1\frac{1}{2}$ op te lossen en het eerste en vierde snijpunt te nemen. We krijgen die snijpunten door de oplossingen van klein naar groot op te schrijven en dan de eerste en de vierde te pakken.

Vervolgens kun je $a$ , $b$ , $c$ en $d$ op de standaardmanier berekenen:

De evenwichtsstand $d$ bereken je met $d=\frac{\text{max}+\text{min}}{2}$ .
De amplitude bereken je met $a=\text{max} - \text{evenwichtsstand}$ .
$b=\frac{2\pi}{\text{periode}}$ (de periode kun je berekenen door het verschil in $x$ te berekenen van twee punten die één periode uit elkaar liggen)
$c$ is het $x$ -coördinaat van een maximum.

Uitwerking:

Voor de snijpunten van $f$ met $y=1\frac{1}{2}$ geldt: $3\sin(\frac{1}{4}\pi x)=1\frac{1}{2}$
$\sin(\frac{1}{4}\pi x)=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}\pi x=\frac{1}{6}\pi+k\cdot 2\pi\vee\frac{1}{4}\pi x=\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$
$x=\frac{2}{3}+k\cdot 8\vee x=3\frac{1}{3}+k\cdot 8$
De eerste oplossingen zijn $x=\frac{2}{3}$ , $x=3\frac{1}{3}$ , $x=8\frac{2}{3}$ en $x=11\frac{1}{3}$ .
Dat geeft $x_k=\frac{2}{3}$ en $x_L=11\frac{1}{3}$ .
$c=\frac{2}{3}$ ( $c=11\frac{1}{3}}$ is ook goed)
De periode is $x_L-x_k=11\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=10\frac{2}{3}$ .
Dit geeft $b=\frac{2\pi}{10\frac{2}{3}}=\frac{3}{16}\pi$ .
Voor de evenwichtsstand geldt $d=\frac{1\frac{1}{2}+-1}{2}=\frac{1}{4}$ .
Voor de amplitude geldt $1\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=1\frac{1}{4}$ .

Pagina's: 12345678