Oefenexamen 2026 – Pagina 9

Eerste- en derdegraadsfunctie (aangepast)

De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door $f(x)=(x^2-1)(x-1\frac{1}{2})$ en $g(x)=\left|-x+1\frac{1}{2}\right|$ .
De grafieken van $f$ en $g$ snijden beide de $y$ -as in het punt $A(0,1\frac{1}{2})$ en de $x$ -as in het punt $B(1 \frac{1}{2},0)$ .

De grafiek van $g$ raakt in punt $A$ aan de grafiek van $f$ .

Opdracht 15: (5 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

We hebben geleerd dat $f$ en $g$ raken als $\begin{cases}f(x)=g(x)\\ f'(x)=g'(x)\end{cases}$ . We willen dat dit geldt bij $x=0$ (want het moet gebeuren in punt $A$ ) en er is al gegeven dat $f(0)=g(0)$ . Het enige wat we dus nog zelf moeten berekenen en controleren is dat $f'(0)=g'(0)$ .

Let er bij het differentiëren van $g(x)$ op dat je een functie met absolute waarden pas kunt differentiëren nadat je de absolute waarden hebt weggewerkt. Daarvoor zie je bij deze opgave dat links van het knikpunt geldt dat $-x+1\frac{1}{2}>0$ . Daarom kun je daar $\left|-x+1\frac{1}{2}\right|$ vervangen door $-x+1\frac{1}{2}$ .

Uitwerking met haakjes uitwerken:

Raken bij $x=0$ betekent $\begin{cases}f(0)=g(0)\\ f'(0)=g'(0)\end{cases}$ .
Hierbij is $f(0)=g(0)=1\frac{1}{2}$ al gegeven. We moeten dus alleen nog bewijzen dat $f'(0)=g'(0)$ .
$f(x)=x^3-1\frac{1}{2}x^2-x+1\frac{1}{2}$
$f'(x)=3x^2-3x-1$
$f'(0)=-1$
Rond $x=0$ geldt $g_{\text{links}}(x)=-x+1\frac{1}{2}$
$g'_{\text{links}}(x)=-1$
$g'(0)=-1$
Conclusie: Aangezien $f'(0)=g'(0)=-1$ (en $f(0)=g(0)$ ) raken de grafieken elkaar in het punt $A$ .

Opmerking: Zorg dat je laatste zin antwoord geeft op de vraag (ze raken in punt $A$ ) en dat de reden dat ze raken ( $f(0)=g(0)$ en $f'(0)=g'(0)$ ) ergens in jouw antwoord genoemd staat.

Uitwerking met productregel:

Raken bij $x=0$ betekent $\begin{cases}f(0)=g(0)\\ f'(0)=g'(0)\end{cases}$ .
Hierbij is $f(0)=g(0)=1\frac{1}{2}$ al gegeven. We moeten dus alleen nog bewijzen dat $f'(0)=g'(0)$ .
$f'(x)=2x(x-1\frac{1}{2})+(x^2-1)\cdot 1$
$f'(0)=2\cdot 0(0-1\frac{1}{2})+(0-1)\cdot 1=-1$
Rond $x=0$ geldt $g_{\text{links}}(x)=-x+1\frac{1}{2}$
$g'_{\text{links}}(x)=-1$
$g'(0)=-1$
Conclusie: Aangezien $f'(0)=g'(0)=-1$ (en $f(0)=g(0)$ ) raken de grafieken elkaar in het punt $A$ .

Opmerking: Zorg dat je laatste zin antwoord geeft op de vraag (ze raken in punt $A$ ) en dat de reden dat ze raken ( $f(0)=g(0)$ en $f'(0)=g'(0)$ ) ergens in jouw antwoord genoemd staat.

In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ getekend.

De grafiek van $f$ verdeelt driehoek $OAB$ in twee delen.

Opdracht 16: (6 punten)
Toon met een exacte berekening aan dat de oppervlakte van het linkerdeel twee keer zo groot is als de oppervlakte van het rechterdeel.

Aanpak:

We moeten voor deze opdracht de oppervlakte van het linkerdeel en de oppervlakte van het rechterdeel weten. Daarbij is vaak de truc om eerst het gemakkelijkste van de twee delen te berekenen. Zodra je dat gedaan hebt, kun je het andere gebied berekenen met behulp van $\text{Opp(deel 1)} = \text{Opp(totaal)} - \text{Opp(deel 2)}$ .

Bij deze specifieke opdracht lijkt het linkerdeel eenvoudiger om te berekenen dan het rechterdeel (want het linkerdeel zit in zijn geheel onder één functie). De strategie is daarmee om eerst de oppervlakte van dit deel te berekenen. Hiervoor heb je wel nog het snijpunt nodig van $f$ met de $x$ -as. Gelukkig heb je hierbij direct al een vergelijking van de vorm $A\cdot B=0$ die dus relatief eenvoudig is op te lossen (zolang je maar niet op het idee komt om meteen haakjes uit te werken).

Uitwerking met oppervlakte rechts met oppervlakte $\triangle OAB$ :

$f(x)=0$ geeft $(x^2-1)(x-1\frac{1}{2})=0$
$x^2-1=0\vee x-1\frac{1}{2}=0$
$x^2=1\vee x=1\frac{1}{2}$
$x=-1\vee x=1\vee x=1\frac{1}{2}$
Het eerste snijpunt rechts van de $y$ -as is dus $x=1$
$O(\text{links})=\displaystyle\int_0^1 (x^2-1)(x-1\frac{1}{2}) \text{dx}$
$O(\text{links})=\displaystyle\int_0^1 (x^3-1\frac{1}{2}x^2-x+1\frac{1}{2}) \text{dx}$
$O(\text{links})=\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+1\frac{1}{2}x\right]_0^1$
$O(\text{links})=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}-(0-0-0+0)=\frac{3}{4}$
$O(\triangle OAB)=\frac{1}{2}\cdot 1\frac{1}{2}\cdot 1\frac{1}{2}=\frac{9}{8}$
$O(\text{rechts})=O(\triangle OAB)-O(\text{links})=\frac{9}{8}-\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$
Aangezien $\frac{3}{4}=2\cdot \frac{3}{8}$ klopt het dat het linkerdeel twee keer zo groot is als dat het rechterdeel is.

Uitwerking met oppervlakte rechts met integraal:

$f(x)=0$ geeft $(x^2-1)(x-1\frac{1}{2})=0$
$x^2-1=0\vee x-1\frac{1}{2}=0$
$x^2=1\vee x=1\frac{1}{2}$
$x=-1\vee x=1\vee x=1\frac{1}{2}$
Het eerste snijpunt rechts van de $y$ -as is dus $x=1$
$O(\text{links})=\displaystyle\int_0^1 (x^2-1)(x-1\frac{1}{2}) \text{dx}$
$O(\text{links})=\displaystyle\int_0^1 (x^3-1\frac{1}{2}x^2-x+1\frac{1}{2}) \text{dx}$
$O(\text{links})=\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+1\frac{1}{2}x\right]_0^1$
$O(\text{links})=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}-(0-0-0+0)=\frac{3}{4}$
$O(\text{rechts})=\displaystyle\int_0^{1\frac{1}{2}} g(x) \text{dx} - \int_0^1 f(x) \text{dx}$
$O(\text{rechts})=\displaystyle\int_0^{1\frac{1}{2}} |-x+1\frac{1}{2}| \text{dx} - \frac{3}{4}$
$O(\text{rechts})=\displaystyle\int_0^{1\frac{1}{2}} (-x+1\frac{1}{2}) \text{dx} - \frac{3}{4}$ (want op dit interval is $-x+1\frac{1}{2}>0$ )
$O(\text{rechts})=\left[-\frac{1}{2} x^2+1\frac{1}{2}x\right]_0^{1\frac{1}{2}}- \frac{3}{4}$
$O(\text{rechts})=-\frac{1}{2}\cdot (1\frac{1}{2})^2+1\frac{1}{2}\cdot 1\frac{1}{2} -0-0- \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$
Aangezien $\frac{3}{4}=2\cdot \frac{3}{8}$ klopt het dat het linkerdeel twee keer zo groot is als dat het rechterdeel is.

De functie $h$ is gegeven door $h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$ .

Opdracht 17: (4 punten)
Onderzoek via exacte weg of $h$ een perforatie heeft.

Aanpak:

Allereerst is het goed om te weten dat bij de vraagstelling “onderzoek of” het antwoord meestal nee is. De reden is dat als er bij deze vraag wel een perforatie zou zijn de examenmakers meestal gewoon vragen om de coördinaten van de perforatie te berekenen. Het feit dat ze in plaats daarvan vragen om te onderzoeken of er een perforatie is, suggereert dat er iets geks aan de hand is. Als je de functie in je GR invoert, zie je inderdaad dat er iets geks gebeurt bij $x=1\frac{1}{2}$ (dat is de waarde waar teller en noemer nul zijn en er dus een perforatie kan zijn):

Schijnbaar heeft $h$ hier niet alleen een gat, maar springt die ook. Dat zorgt ervoor dat er geen perforatie is (want een perforatie is een punt die als je die zou toevoegen aan de grafiek je een doorlopende grafiek krijgt). De reden dat dit gebeurt, is omdat $x=1\frac{1}{2}$ niet alleen het punt is waar we $\frac{0}{0}$ hebben, maar bovendien ook het knikpunt van de teller is. We hebben geleerd dat je limieten alleen kunt berekenen als je eerst de absolute waarden weghaalt. Bij het weghalen van de absolute waarden heb je echter een andere functie links van $x=1\frac{1}{2}$ als rechts van $x=1\frac{1}{2}$ . Deze limieten moet je dus apart berekenen en als ze een verschillende uitkomst geven, betekent dat je geen perforatie hebt.

NB: De notatie die we geleerd hebben voor de limiet van links is $\displaystyle \lim_{x\uparrow 1\frac{1}{2}} h(x)$ . Nadat je de absolute waarden hebt vervangen bereken je die gewoon op dezelfde manier als je normaal gesproken met $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1\frac{1}{2}} h(x)$ zou doen.

Uitwerking:

Een perforatie kan alleen voorkomen als $\begin{cases}(x^2-1)(x-1\frac{1}{2})=0 \\ |-x+1\frac{1}{2}|=0\end{cases}$
$|-x+1\frac{1}{2}|=0$ geeft $-x+1\frac{1}{2}=0$
$x=1\frac{1}{2}$
Bij het berekenen van limieten moeten we altijd eerst de absolute waarde wegwerken. Aangezien $x=1\frac{1}{2}$ precies het knikpunt is van $|-x+1\frac{1}{2}|$ moeten we de limiet met beide opties van de absolute waarde berekenen:
Links van $x=1\frac{1}{2}$ geldt: $h_{\text{links}}(x)=\frac{-x+1\frac{1}{2}}{(x^2-1)(x-1\frac{1}{2})}$
Rechts van $x=1\frac{1}{2}$ geldt: $h_{\text{rechts}}(x)=\frac{x-1\frac{1}{2}}{(x^2-1)(x-1\frac{1}{2})}$
$\displaystyle \lim_{x\downarrow 1\frac{1}{2}} h(x)= \lim_{x\downarrow 1\frac{1}{2}} \frac{x-1\frac{1}{2}}{(x^2-1)(x-1\frac{1}{2})} = \lim_{x\downarrow 1\frac{1}{2}} \frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(1\frac{1}{2})^2-1}=\frac{4}{5}$
$\displaystyle \lim_{x\uparrow 1\frac{1}{2}} h(x)= \lim_{x\uparrow 1\frac{1}{2}} \frac{-x+1\frac{1}{2}}{(x^2-1)(x-1\frac{1}{2})} = \lim_{x\uparrow 1\frac{1}{2}} \frac{-1}{x^2-1}=\frac{-1}{(1\frac{1}{2})^2-1}=-\frac{4}{5}$
Aangezien $\displaystyle \lim_{x\uparrow 1\frac{1}{2}} h(x) \neq \displaystyle \lim_{x\downarrow 1\frac{1}{2}} h(x)$ heeft $h$ geen perforatie.

Pagina's: 12345678910