Oefenexamen 2026 – Pagina 6

Lijn door perforatie

De functie $f_b$ wordt gegeven door: $f_b(x)=\frac{x-b}{x^2-b^2}$ met $x\neq -b$ en $x\neq b$ .
Voor elke waarde van $b\neq 0$ heeft de grafiek van $f_b$ een perforatie.

Opdracht 9: (7 punten)
Bereken exact de waarde(n) van $b$ waarvoor deze perforatie op de lijn met vergelijking $y=4x+1$ ligt.

Aanpak:

Mijn truc bij perforaties is altijd om teller en noemer te ontbinden. De teller en de noemer hebben dan altijd een gemeenschappelijke factor en wanneer die nul is, is er dus (mogelijk) sprake van een perforatie. In de teller hebben we alleen de factor $x-b$ . Dat suggereert dat we die factor ook in de noemer moeten krijgen. Er zijn meerdere manieren hoe je vanaf hier de ontbinding van de noemer kunt krijgen:

Merkwaardig product:
Het simpelste is als je het merkwaardig product $x^2-b^2=(x-b)(x+b)$ herkent. Dan kun je de ontbinding direct opschrijven.
Herschrijven:
Anders moet je gebruiken dat je weet dat $(x-b)$ een factor van de noemer moet zijn. Dan ga je op dezelfde manier die factor $(x-b)$ buiten haakjes halen als je ook bij scheve asymptoten doet:
$x^2-b=x(x-b)+bx-b=x(x-b)+b(x-b)=(x+b)(x-b)$

Nadat je de noemer ontbonden hebt, kun je gewoon de perforatie in $b$ uitdrukken. Dit punt invullen in $y=4x+1$ geeft je een vergelijking waarmee je kunt oplossen voor welke $b$ de perforatie op $y=4x+1$ ligt.

Uitwerking met eerst $f_b$ herschrijven:

$f_b(x)=\frac{x-b}{(x-b)(x+b)}$
$f_b(x)=\frac{1}{x+b}$ als $x-b\neq 0$
Er is dus een perforatie als $x-b=0$
$x_{\text{perf}}=b$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow b} f_b(x) = \displaystyle \lim_{x\rightarrow b} \frac{1}{x+b} = \frac{1}{b+b}=\frac{1}{2b}$
De perforatie is dus $(b,\frac{1}{2b})$
$(b,\frac{1}{2b})$ substitueren in $y=4x+1$ geeft:
$4b+1=\frac{1}{2b}$
$8b^2+2b=1$
$8b^2+2b-1=0$
$D=2^2-4\cdot 8\cdot -1=36$
$b=\frac{-2+\sqrt{36}}{2\cdot 8}\vee b=\frac{-2-\sqrt{36}}{2\cdot 8}$
$b=\frac{1}{4}\vee b=-\frac{1}{2}$
Conclusie: Voor $b=\frac{1}{4}$ en $b=-\frac{1}{2}$ ligt de perforatie op de lijn $y=4x+1$ .

Uitwerking met eerst bepalen waar perforatie zit:

De perforatie zit bij $\begin{cases}x-b=0\\ x^2-b^2=0\end{cases}$
$x-b=0$ geeft $x=b$
$x^2-b^2=0$ geeft $x^2=b^2$ , dus $x=b\vee x=-b$
De perforatie zit dus bij $x=b$ .
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow b} f_b(x) = \displaystyle \lim_{x\rightarrow b} \frac{x-b}{(x+b)(x-b)}$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow b} f_b(x) = \displaystyle \lim_{x\rightarrow b} \frac{1}{x+b} = \frac{1}{b+b}=\frac{1}{2b}$
De perforatie is dus $(b,\frac{1}{2b})$
$(b,\frac{1}{2b})$ substitueren in $y=4x+1$ geeft:
$4b+1=\frac{1}{2b}$
$8b^2+2b=1$
$8b^2+2b-1=0$
$D=2^2-4\cdot 8\cdot -1=36$
$b=\frac{-2+\sqrt{36}}{2\cdot 8}\vee b=\frac{-2-\sqrt{36}}{2\cdot 8}$
$b=\frac{1}{4}\vee b=-\frac{1}{2}$
Conclusie: Voor $b=\frac{1}{4}$ en $b=-\frac{1}{2}$ ligt de perforatie op de lijn $y=4x+1$ .

Pagina's: 12345678910