Oefenexamen 2026 – Pagina 2

Lijnstuk en parabool

Op het domein $[0,4]$ is de functie $f$ gegeven door $f(x)=8-\frac{1}{2}x^2$ . De randpunten van de grafiek van $f$ zijn $P(0,8)$ en $Q(4,0)$ . Zie de figuur.
Verder is gegeven een lijnstuk $PR$ met eindpunten $P(0,8)$ en $R(a,0)$ , waarbij $a>4$ . In de figuur is voor een waarde van $a$ ook het lijnstuk $PR$ getekend.

Er is een waarde van $a$ waarvoor de grafiek van $f$ en het lijnstuk $PR$ elkaar snijden in het midden van $PR$ .

Opdracht 1: (4 punten)
Bereken exact deze waarde van $a$ .

Aanpak:

Er zijn twee volgordes waarin je deze opdracht op kunt lossen:

Bepaal het midden van $PR$ en bereken wanneer die op $f$ ligt.
Bepaal het snijpunt van $f$ en $PR$ . Bereken vervolgens wanneer dit snijpunt het midden van $PR$ is.

De berekeningen zijn een stuk simpeler als je eerst het midden berekent. Een vriend van mij noemt dit de omdraairegel. Vlak voordat hij berekeningen doet, kijkt hij altijd even of het niet sneller gaat in een andere volgorde. Dat zou hem bij deze opgave als hij eerst de tweede volgorde had wel wat tijd opgeleverd hebben.

Uitwerking met midden van $PR$ :

$R(a,0)$ , halverwege $PR$ is dus $(\frac{1}{2}a, 4)$ .
$(\frac{1}{2}a, 4)$ invullen $f(x)=8-\frac{1}{2}x^2$ geeft $4=8-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a)^2$
$4=8-\frac{1}{8}a^2$
$\frac{1}{8}a^2=4$
$a^2=32$
$a=\sqrt{32}$ (of vereenvoudigd tot $a=4\sqrt{2}$ ).

Uitwerking met $f(x)=4$ :

$f(x)=4$ geeft $8-\frac{1}{2}x^2=4$
$-\frac{1}{2}x^2=-4$
$\frac{1}{2}x^2=4$
$x^2=8$
$x=\sqrt{8}$ (want we kijken naar $x>0$ )
Dit coördinaat moet halverwege $x_P=0$ en $x_R=a$ zitten. Dat is als $\frac{1}{2}(a+0)=\sqrt{8}$
Dus $a=2\sqrt{8}$ (of vereenvoudigd tot $a=4\sqrt{2}$ ).

Uitwerking met snijpunt $PR$ en $f$ berekenen:

$a_{PR}=\frac{0-8}{a-0}=-\frac{8}{a}$
Dus $PR$ is $y=-\frac{8}{a}x+8$
Snijden van $PR$ en $f$ geeft $8-\frac{1}{2}x^2=-\frac{8}{a}x+8$
$-\frac{1}{2}x^2+\frac{8}{a}x=0$
$x(-\frac{1}{2}x+\frac{8}{a})=0$
$-\frac{1}{2}x+\frac{8}{a}=0$ (want $x=0$ is niet het juiste snijpunt)
$-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{a}$
$x=\frac{16}{a}$
Het snijpunt moet halverwege $PR$ zitten. Dat is het geval als het snijpunt ook $x=\frac{1}{2}a$ is. Dat invullen geeft:
$\frac{1}{2}a=\frac{16}{a}$
$a^2=32$
$a=\sqrt{32}$ (of vereenvoudigd tot $a=4\sqrt{2}$ ).

De lengte van boog $PQ$ van de grafiek van $f$ is gelijk aan $\displaystyle\int_0^4\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{dx}$ .

Opdracht 2: (5 punten)
Bereken in twee decimalen nauwkeurig voor welke waarde van $a$ de lengte van boog $PQ$ van de grafiek van $f$ gelijk is aan de lengte van lijnstuk $PR$ .

Aanpak:

We moeten $\text{boog } PQ =PR$ oplossen. Daarbij is $PR$ de afstand tussen twee punten en die berekenen we dus met Pythagoras. Voor $\text{boog } PQ$ moeten we de formule gebruiken die gegeven is. Dat is een integraal die we niet exact kunnen berekenen (want er staat iets in het kwadraat onder de wortel). Gelukkig staat er geen exact, algebraïsch of bewijs in deze opdracht. Je kunt de integraal dus gewoon met de GR benaderen.

Uitwerking met alles op GR:

Voer in: $\displaystyle \int_0^4\sqrt{1+\left(\frac{\text{d}}{\text{dx}}\left(8-\frac{1}{2}x^2\right)|_{x=x}\right)^2}\text{ dx}$
Dat geeft $\text{booglengte} = 9{,}293\ldots$
$PR=\sqrt{(a-0)^2+(0-8)^2}=\sqrt{a^2+64}$
$PR=\text{booglengte}$ geeft $\sqrt{a^2+64}=9{,}293\ldots$
Voer in: $\begin{cases}Y_1=\sqrt{x^2+64}\\ Y_2=9{,}293\ldots\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=4{,}729\ldots$
De waarde van $a$ is op twee decimalen nauwkeurig dus $a\approx 4{,}73$ .

Uitwerking met alleen integreren op GR:

$f'(x)=-x$
Voer in: $\displaystyle \int_0^4\sqrt{1+(-x)^2}\text{ dx}$
Dat geeft $\text{booglengte} = 9{,}293\ldots$
$PR=\sqrt{(a-0)^2+(0-8)^2}=\sqrt{a^2+64}$
$PR=\text{booglengte}$ geeft $\sqrt{a^2+64}=9{,}293\ldots$
$a^2+64=86{,}370\ldots$
$a^2=22{,}370\ldots$
$a=4{,}729\ldots$ (want $a>0$ )
De waarde van $a$ is op twee decimalen nauwkeurig dus $a\approx 4{,}73$ .

Pagina's: 12345678910