Oefenexamen 2026 – Pagina 3

Logaritmen en vierde macht

De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door $f(x)=4\cdot \ln(x)$ en $g(x)=(\ln(x))^4$ met $x>0$ .
De grafieken van $f$ en $g$ snijden elkaar in de punten $S$ en $T$ .
Een lijn $x=p$ snijdt tussen $S$ en $T$ de grafiek van $f$ in $A$ en de grafiek van $g$ in $B$ .
Zie figuur 1.

Er is een waarde van $p$ waarvoor de lengte van lijnstuk $AB$ maximaal is.

Opdracht 3: (6 punten)
Bereken exact de maximale lengte van $AB$ . Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Aanpak:

Altijd als we exact de maximale of minimale huppeldepup (in dit geval lengte) moeten berekenen, gebruik je het volgende stappenplan:

Stel een formule op voor huppeldepup.
Los $\text{huppeldepup}'=0$ op.
Vul de oplossing van de vorige stap in de formule voor huppeldepup in.

In dit geval moeten we dus beginnen met een formule voor de lengte van het lijnstuk op te stellen. Aangezien het een verticale lengte is, is dit het bovenste $y$ -coördinaat min het onderste $y$ -coördinaat.

Vervolgens los je $\text{lengte}'=0$ op. Een handigheidje daarbij is dat je al kan stoppen met dit oplossen, zodra je $\ln(p)=1$ hebt. In de formule van de lengte komt $p$ namelijk alleen maar voor in de vorm $\ln(p)$ . Je bespaart dus werk door niet eerst uit te rekenen wat $p$ is en vervolgens weer uit te moeten rekenen wat $\ln(e)$ is.

Uitwerking met $\ln(p)$ berekenen:

$y_A=f(p)=4\cdot \ln(p)$
$y_B=g(p)=(\ln(p))^4$
Voor de lengte geldt: $L(p) = y_A-y_B=4\cdot \ln(p)-(\ln(p))^4$
$L'(p)=4\cdot \frac{1}{p}-4(\ln(p))^3\cdot \frac{1}{p}$
$L'(p)=0$ geeft $4\cdot \frac{1}{p}-4(\ln(p))^3\cdot \frac{1}{p}=0$
Vermenigvuldigen met $p$ geeft $4-4(\ln(p))^3=0$
$4=4(\ln(p))^3$
$(\ln(p))^3=1$
$\ln(p)=1$
$\ln(p)=1$ in de formule van de lengte invullen, geeft:
$\text{lengte}= 4\cdot 1-1^4 = 3$
De maximale lengte is dus 3.

Uitwerking met $p$ berekenen:

$y_A=f(p)=4\cdot \ln(p)$
$y_B=g(p)=(\ln(p))^4$
Voor de lengte geldt: $L(p) = y_A-y_B=4\cdot \ln(p)-(\ln(p))^4$
$L'(p)=4\cdot \frac{1}{p}-4(\ln(p))^3\cdot \frac{1}{p}$
$L'(p)=0$ geeft $4\cdot \frac{1}{p}-4(\ln(p))^3\cdot \frac{1}{p}=0$
Vermenigvuldigen met $p$ geeft $4-4(\ln(p))^3=0$
$4=4(\ln(p))^3$
$(\ln(p))^3=1$
$\ln(p)=1$
$p=e$
$p=e$ in de formule van de lengte invullen, geeft:
$L(e) = 4\cdot \ln(e)-(\ln(e))^4$
$L(e)= 4\cdot 1-1^4 = 3$
De maximale lengte is dus 3.

Pagina's: 12345678910