Oefenexamen 2026 – Pagina 4

Het ontwerp van een brug (aangepast)

Een gemeente wil in een park een brug over een vijver aanleggen. De brug moet:

minstens 8,00 meter overspannen (de breedte van de vijver),
als zijaanzicht de vorm van een sinusoïde hebben (om esthetische redenen),
horizontaal aansluiten op beide oevers (de oevers liggen even hoog),
een hoogste punt van 1,00 m boven het wateroppervlak hebben (om roeiboten eronderdoor te kunnen laten varen); het water staat 0,20 m onder het niveau van de beide oevers,
maximaal een helling $\frac{1}{15}$ hebben (voor mensen in een rolstoel).

In figuur 1 staat een schets van een zijaanzicht van de situatie, waarbij de punten waarin de brug horizontaal aansluit op beide oevers steeds $A$ en $B$ genoemd worden. De tekening is niet op schaal.

In dit zijaanzicht kiezen we een assenstelsel waarin de $x$ -as op de hoogte van beide oevers ligt en de $y$ -as door het hoogste punt van de brug gaat. We kiezen zowel op de $x$ -as als de $y$ -as de meter als eenheid. Het zijaanzicht kan nu door een vergelijking in $x$ en $y$ beschreven worden. Een vergelijking van de vorm $y=0{,}40\left(1+\cos(\frac{2\pi}{p}x)\right)$ , met $x$ en $y$ in meters, $p$ positief en $x$ binnen een geschikt interval, voldoet aan de eisen 2, 3 en 4. Hierbij is de dikte van het brugdek verwaarloosd.

Afhankelijk van de waarde van $p$ is ook aan eis 1 voldaan.

Opdracht 4: (2 punten)
Bepaal voor welke waarden van $p$ ook aan eis 1 is voldaan.

Aanpak:

Eis 1 zegt eigenlijk dat de afstand tussen $A$ en $B$ minstens 8 meter moet zijn. We moeten dus de afstand tussen $A$ en $B$ uitdrukken in $p$ . De eenvoudigste manier om dat te doen, is door te realiseren dat $A$ en $B$ op minima van de sinusoïde zitten (want alleen daar loopt de baan horizontaal) en dat er dus één periode van de sinusoïde tussen $A$ en $B$ zit. Als je dat niet ziet, kun je natuurlijk ook de vergelijking $y=0$ oplossen om de $x$ -coördinaten van $A$ en $B$ (uitgedrukt in $p$ te vinden).

Uitwerking met redeneren met periode:

De periode van de sinusoïde is $\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{p}}=p$ .
$A$ en $B$ zijn twee opvolgende minima (want alleen bij de toppen loopt een sinusoïde horizontaal en dat moet volgens eis 3).
De afstand tussen $A$ en $B$ is dus ook $p$ .
De afstand tussen $A$ en $B$ moet minstens 8 meter zijn. Er moet dus gelden $p\geq 8$ .

Uitwerking met vergelijking oplossen:

$y=0$ geeft $0{,}40\left(1+\cos(\frac{2\pi}{p}x)\right)=0$
$1+\cos(\frac{2\pi}{p}x)=0$
$\cos(\frac{2\pi}{p}x)=-1$
$\frac{2\pi}{p}x=\pi+k\cdot 2\pi$
$x=p\cdot \frac{1}{2}+k\cdot p$
$x_A=-\frac{1}{2}p$ en $x_B=\frac{1}{2}p$ .
$AB=x_B-x_A=p$
De afstand tussen $A$ en $B$ moet minstens 8 meter zijn. Er moet dus gelden $p\geq 8$ .

Als aan eis 1 is voldaan, betekent dat nog niet dat is voldaan aan eis 5. Zo is bijvoorbeeld voor $p=10{,}00$ wel aan eis 1 voldaan, maar niet aan eis 5.

Opdracht 5: (5 punten)
Bereken algebraïsch voor welke waarden van $p$ aan eis 5 is voldaan.

Aanpak:

Eis 5 komt neer op het oplossen van de ongelijkheid $\text{maximale helling} \leq \frac{1}{15}$ . Hiervoor moeten we eerst een uitdrukking voor de maximale helling hebben. Daarvoor moet je bedenken dat de helling gelijk is aan $y'$ . Aan de formule van $y'$ zien we dat $y'$ een sinusoïde is. Er zijn twee manieren om het maximum van een sinusoïde te bepalen:

Met evenwichtsstand en amplitude: (snelste manier)
De maximale waarde die een sinusoïde aanneemt is altijd de evenwichtsstand plus de amplitude. De minimale waarde is juist de evenwichtsstand min amplitude.
Afgeleide helling = 0:
Ieder maximum kun je ook berekenen met afgeleide = 0. doen met de afgeleide gelijkstellen aan nul. Dat gaat hier om de afgeleide van de helling en dat is dus $y''$ . Nadat je $y''=0$ opgelost hebt, vul je de gevonden $x$ -waarden in de formule voor de helling in om de maximale helling te krijgen.

Als je dit goed doet, krijg je uiteindelijk de ongelijkheid $\frac{0{,}80\pi}{p}\leq\frac{1}{15}$ . Die kun je natuurlijk op de standaardmanier oplossen (gelijkheid, schets, aflezen interval in schets). Aangezien $p>0$ mag je in plaats daarvan ook aan beide kanten vermenigvuldigen met $p$ . Doordat $p$ positief is, weten we namelijk dat het teken niet omklapt.

Uitwerking met redeneren met sinusoïde:

$y=0{,}40+0{,}40 \cos(\frac{2\pi}{p}x)$
$y'=-0{,}40 \sin(\frac{2\pi}{p}x)\cdot \frac{2\pi}{p}$
$y'=-\frac{0{,}80\pi}{p} \sin(\frac{2\pi}{p}x)$
De helling $y'$ is een sinusoïde met evenwichtsstand 0 en amplitude $\left|-\frac{0{,}80\pi}{p} \right|=\frac{0{,}80\pi}{p}$ .
De helling loopt dus van $-\frac{0{,}80\pi}{p}$ tot $\frac{0{,}80\pi}{p}$ .
De maximale absolute helling is $\frac{0{,}80\pi}{p}$ .
We moeten $\frac{0{,}80\pi}{p}\leq\frac{1}{15}$ oplossen.
$0{,}80\pi \leq \frac{1}{15}p$ (omdat $p>0$ )
$12\pi\leq p$
Conclusie: Voor $p\geq 12\pi$ is voldaan aan eis 5 ( $p\geq 37{,}7$ wordt ook goed gerekend).

NB: Bij de ongelijkheid mogen we links en rechts keer $p$ doen, omdat het een positief getal is. In plaats daarvan kun je $\frac{0{,}80\pi}{p}\leq\frac{1}{15}$ ook oplossen met het standaard-stappenplan voor ongelijkheden. Je lost dan eerst $\frac{0{,}80\pi}{p}=\frac{1}{15}$ op en kijkt dan in een schets aan welke kant van het snijpunt de ongelijkheid geldt.

Uitwerking met tweede afgeleide:

$y=0{,}40+0{,}40 \cos(\frac{2\pi}{p}x)$
$y'=-0{,}40 \sin(\frac{2\pi}{p}x)\cdot \frac{2\pi}{p}$
$y''=-0{,}40\cos(\frac{2\pi}{p}x)\cdot \frac{4\pi^2}{p^2}$
$y''=0$ geeft $\cos(\frac{2\pi}{p}x)=0$
$\frac{2\pi}{p}x=\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi \vee \frac{2\pi}{p}x=1\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi$
$x=\frac{1}{4}p+k\cdot p\vee x=\frac{3}{4}p+k\cdot p$
$x=\frac{1}{4}p$ geeft: $y'=-0{,}40 \sin(\frac{1}{2}\pi)\cdot \frac{2\pi}{p}=-0{,}40\cdot 1\cdot \frac{2\pi}{p} = -\frac{0{,}80\pi}{p}$
$x=\frac{3}{4}p$ geeft: $y'=-0{,}40 \sin(1\frac{1}{2}\pi)\cdot \frac{2\pi}{p}=-0{,}40\cdot -1\cdot \frac{2\pi}{p} = \frac{0{,}80\pi}{p}$
De maximale absolute helling is dus $\frac{0{,}80\pi}{p}$
We moeten $\frac{0{,}80\pi}{p}\leq\frac{1}{15}$ oplossen.
$0{,}80\pi \leq \frac{1}{15}p$ (omdat $p>0$ )
$12\pi\leq p$
Conclusie: Voor $p\geq 12\pi$ is voldaan aan eis 5 ( $p\geq 37{,}7$ wordt ook goed gerekend).

Men kiest voor het zijaanzicht van de brug de vergelijking met $p=40{,}00$ . Deze vergelijking is te schrijven als:
$y=0{,}40\left(1+\cos(\frac{\pi}{20{,}00}x)\right)$

De horizontaal gemeten afstand tussen $A$ en $B$ is in dit geval $40{,}00$ meter, zodat aan eis 1 is voldaan. Met de gekozen vergelijking is ook aan de vier andere eisen voldaan.

Het brugdek wordt $3{,}50$ m breed. De uiteinden van de brug wil men ondersteunen door aan beide zijden, over de hele breedte van het brugdek, beton te storten. De betonnen gedeelten (met verticale wanden) beginnen op een afstand van $4{,}00$ meter vanaf de rand van de vijver. In figuur 2 zijn in een schets van een zijaanzicht beide delen van de betonnen ondersteuning met grijs aangegeven. De tekening is niet op schaal.

Opdracht 6: (4 punten)
Bereken hoeveel kubieke meter beton voor de betonnen ondersteuning nodig is.

Aanpak:

De inhoud is in dit geval geen omwentelingslichaam, maar gewoon de breedte van de brug (3,5 meter) keer het oppervlak aan de zijkant. We moeten dus eerst het oppervlak aan de zijkant hebben. Dat is duidelijk een integraal van het type $\int 0{,}40\left(1+\cos\left(\frac{\pi}{20{,}00}x\right)\right)\text{dx}$ , want we willen de oppervlakte onder de grafiek weten. De enige vraag is nog wat de grenzen zijn. Hiervoor moeten we naar het stuk tekst onder figuur 1 kijken. Daar staat hoe het assenstelsel werkt. Daarmee en met figuur 2 kun je de grenzen van de integraal bepalen.

Uitwerking (met GR):

Onder figuur 1 zien we dat de $y$ -as zit bij het midden van het water. De ondersteuning begint dus $4+4=8$ meter rechts van de $y$ -as.
Vanwege symmetrie ligt $B$ $\frac{40}{2}=20$ meter rechts van het midden.
De oppervlakte aan de zijkant van de brug rechts is dus $\displaystyle\int_{8}^{20} 0{,}40\left(1+\cos\left(\frac{\pi}{20{,}00}x\right)\right)\text{dx}$ .
Voer in: $\displaystyle\int_{8}^{20} 0{,}40\left(1+\cos\left(\frac{\pi}{20{,}00}x\right)\right)\text{dx}=2{,}378\ldots$
De breedte van de brug is $3{,}5$ meter. Per kant is er dus $3{,}5\cdot 2{,}378\ldots = 8{,}323\ldots \text{m}^3$ nodig.
Voor beide kanten bij elkaar is er $2\cdot 8{,}323 \approx 17 \text{m}^3$ beton nodig.

NB: Als je op één decimaal zou moeten afronden, zou ik zelf $16{,}647\ldots$ hier als $16{,}7$ en niet als $16{,}6$ afronden. De reden is dat $16{,}6 \text{m}^3$ niet genoeg is. Het scoremodel is hier echter nu niet duidelijk over. Om dit hele gedoe niet te hebben, is mijn advies om op een manier afronden die zowel naar boven als normaal is (dus bijvoorbeeld 17 of $16{,}65$ ). Dan zit je altijd goed.

Uitwerking (algebraïsch):

Onder figuur 1 zien we dat de $y$ -as zit bij het midden van het water. De ondersteuning begint dus $4+4=8$ meter rechts van de $y$ -as.
Vanwege symmetrie ligt $B$ $\frac{40}{2}=20$ meter rechts van het midden.
De oppervlakte aan de zijkant van de brug rechts is dus $\displaystyle\int_{8}^{20} 0{,}40\left(1+\cos\left(\frac{\pi}{20{,}00}x\right)\right)\text{dx}$ .
$\text{oppervlakte zijkant rechts} = \displaystyle\int_{8}^{20} \left(0{,}40+0{,}40\cos\left(\frac{\pi}{20{,}00}x\right)\right)\text{dx}$ .
$\text{oppervlakte zijkant rechts} =\left[0{,}40x+0{,}40\sin\left(\frac{\pi}{20{,}00}x\right)\cdot \frac{20{,}00}{\pi}\right]_8^{20}$
$\text{oppervlakte} =0{,}4\cdot 20 + 0{,}4\sin\left(\frac{\pi}{20}\cdot 20\right)\cdot \frac{20}{\pi} - (0{,}4\cdot 8 + 0{,}4\sin\left(\frac{\pi}{20}\cdot 8\right)\cdot \frac{20}{\pi})$
$\text{oppervlakte zijkant rechts} =2{,}378\ldots$
De breedte van de brug is $3{,}5$ meter. Per kant is er dus $3{,}5\cdot 2{,}378\ldots = 8{,}323\ldots \text{m}^3$ nodig.
Voor beide kanten bij elkaar is er $2\cdot 8{,}323 \approx 17 \text{m}^3$ beton nodig.

Pagina's: 12345678910