Oefenexamen 2026 – Pagina 5

Dicht bij elkaar (aangepast)

De functies $f$ en $h$ worden gegeven door $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{\frac{1}{x}}}$ en $h(x)=\sqrt{x}$ .
In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven. Voor steeds grotere waarden van $x$ liggen de grafieken van $f$ en $h$ steeds dichter bij elkaar.

Opdracht 7: (2 punten)
Leg uit, zonder getallenvoorbeeld of gebruik van de grafische rekenmachine, waarom voor grote waarden van $x$ de grafieken van $f$ en $h$ dicht bij elkaar liggen.

Achtergrond bij deze vraag:

Dit soort redeneervragen worden sinds een paar jaar op het HAVO wiskunde B-examen gevraagd. Die vragen zijn bijna altijd twee punten waard. Aangezien het VWO-examen dit jaar ook twee 2-puntsvragen heeft en de verschillende examens soms met wat vertraging type vragen van elkaar overnemen, leek het mij verstandig om deze HAVO-examenvraag toe te voegen.

Aanpak:

Bij dit soort redeneervragen begin je altijd met redeneren over een klein stukje van de functie. Vervolgens zoom je langzaam uit naar de hele functie. In dit geval zijn de stappen dus dat je iets zegt over:

$\frac{1}{x}$
$\sqrt{\frac{1}{x}}$
$x+\sqrt{\frac{1}{x}}$
$\sqrt{x+\sqrt{\frac{1}{x}}$

Daarbij begin je met de aanname dat $x$ heel groot is. Denk dan steeds wat je over het volgende stukje kan zeggen. Zo is $\frac{1}{x}$ dan heel dicht bij nul. Probeer hierbij zo precies mogelijk te formuleren. Heel dicht bij nul is veel beter taalgebruik dan “heel klein” (want dat kan ook heel negatief betekenen).

Uitwerking met redeneren:

Als $x$ heel groot is, ligt $\frac{1}{x}$ heel dicht bij nul.
Als $\frac{1}{x}$ heel dicht bij nul ligt, ligt $\sqrt{\frac{1}{x}}$ ook heel dicht bij nul.
Doordat $\sqrt{\frac{1}{x}}$ heel dicht bij nul ligt, liggen $x+\sqrt{\frac{1}{x}}$ en $x$ heel dicht bij elkaar.
Daar volgt uit dat $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{\frac{1}{x}}}$ en $h(x)=\sqrt{x}$ ook dicht bij elkaar liggen.

Uitwerking met limiet:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{x}} = 0$
Voor grote $x$ geldt daarom: $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{\frac{1}{x}}}\approx \sqrt{x+0}=\sqrt{x}=h(x)$
Voor grote $x$ zitten $f$ en $h$ dus heel dicht bij elkaar.

Let op dat $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x+\sqrt{\frac{1}{x}}}=\infty$ . Je kunt daarom niet redeneren met deze limiet in je antwoord.

Opdracht 8: (3 punten)
Bereken voor welke waarden van $x$ het verschil tussen $f(x)$ en $h(x)$ minder is dan $0{,}01$ . Geef je eindantwoord in drie decimalen.

Aanpak:

Het verschil tussen $f(x)$ en $h(x)$ is de bovenste functie min de onderste functie. Dat geeft hier dus $\text{verschil} = f(x)-h(x)$ .

Vervolens moeten we de ongelijkheid $\text{verschil}>0{,}01$ oplossen. Bij zo’n ongelijkheid lossen we eerst de gelijkheid op (mag met de GR), maken we dan een schets (die is al voor ons gemaakt) en noteren we dan het eindantwoord. Over hoe je het eindantwoord noteert, was bij dit examen best wat te doen. Denk hier dus goed over na en vergelijk dan wat je opgeschreven hebt met de uitwerking.

Uitwerking:

$\text{verschil} = f(x)-h(x)$ (want $f$ ligt boven $h$ )
$\text{verschil} = \sqrt{x+\sqrt{\frac{1}{x}}}-\sqrt{x}$
We moeten $\sqrt{x+\sqrt{\frac{1}{x}}}-\sqrt{x}<0{,}01$ oplossen.
Voer in: $\begin{cases}Y_1=\sqrt{x+\sqrt{\frac{1}{x}}}-\sqrt{x}\\ Y_2=0{,}01\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=49{,}9646\ldots$
Voor $x\geq 49{,}965$ (of $x> 49{,}964$ ) is het verschil tussen $f(x)$ en $h(x)$ minder dan $0{,}01$ .

Opmerking: Het scoremodel wil hier dat het antwoord zo gegeven is dat $49{,}964$ niet in het interval zit (want daar is het verschil groter dan $0{,}01$ ) en $49{,}965$ wel in het interval zit (want daar is het verschil kleiner dan $0{,}01$ ). Vandaar dat ze stellen dat $x\geq 49{,}965$ en $x>49{,}964$ wel goed zijn, maar $x>49{,}965$ en $x\geq 49{,}964$ niet. Ik ben het daar eigenlijk niet mee eens (persoonlijk vind ik dat je bij afronden het recht verliest om onderscheid te maken tussen $>$ en $\geq$ ). Echter is mijn mening natuurlijk minder belangrijk dan die van het scoremodel. Onthoud deze afrondregel dus en doe het op het examen zoals het correctiemodel het wilt.

Opmerking 2: De goede antwoorden kun je natuurlijk ook noteren in de intervalnotatie als $\langle 49{,}964; \rightarrow\rangle$ of $[49{,}965; \rightarrow\rangle$ .

Pagina's: 12345678910