Goniometrie (VWO 6 wis B) – Pagina 9

Onderzetter

Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. Zie de foto.

In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd.
Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we $P$ , het scharnierpunt linksboven noemen we $Q$ en het midden van de middelste ruit noemen we $O$ . De grootte van de binnenhoek bij $P$ in radialen noemen we $\alpha$ . Zie figuur 1.

We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit.
De lengte $l$ en de breedte $b$ van het model zijn functies van $\alpha$ , waarbij $0\leq \alpha \leq \pi$ .

Er geldt: $l=10\cos(\frac{1}{2}\alpha)$ en $b=6\sin(\frac{1}{2}\alpha)$ .

Opdracht 4: (3 punten)
Toon aan dat de formules voor $l$ en $b$ juist zijn.

Aanpak:

Bij het aantonen van formules helpt het vaak om te kijken of je kunt herkennen waar de getallen en variabelen in de uiteindelijke formule vandaan komen. Zo zien we in deze formules de waarde $\frac{1}{2}\alpha$ staan. Dat suggereert dat we de hoek $\alpha$ in tweeën moeten snijden. Bovendien suggereren de sinus en cosinus dat we een rechthoekige driehoek moeten hebben. Het ligt daarmee voor de hand om te starten in de volgende driehoek:

We kunnen zien dat in deze driehoek de lengte en hoogte gegeven worden door respectievelijk $\cos(\frac{1}{2}\alpha)$ en $\sin(\frac{1}{2}\alpha)$ . Daarmee zijn we al een heel eind richting de formules die we moeten aantonen. Het enige wat nog ontbreekt zijn de factor 6 en de factor 10. Dat zou zomaar het aantal driehoeken kunnen zijn wat in de lengte of hoogte past. Let er bij het opschrijven hiervan op dat als het antwoord al in de tekst staat dat de laatste stap meer toelichting dan normaal gesproken vereist (ik zou hier dus zelf voor de zekerheid de observatie dat er 10 van dit soort driehoekjes in de breedte zitten expliciet vermelden).

Uitwerking:

Het eerste punt krijg je voor het inzicht dat je de ruit in vier rechthoekige driehoeken kunt delen met schuine zijde 1 en hoek $\frac{1}{2}\alpha$ . Die zou je dus bijvoorbeeld krijgen voor het maken van de volgende tekening:

In deze driehoek geldt $\sin(\frac{1}{2}\alpha)=\frac{\text{hoogte}}{1}$ . Dus $\text{hoogte} = \sin(\frac{1}{2}\alpha)$ .
Ook geldt $\cos(\frac{1}{2}\alpha)=\frac{\text{lengte}}{1}$ . Dus $\text{lengte} = \cos(\frac{1}{2}\alpha)$ .
De hele figuur is 6 van dit soort driehoekjes hoog. Dat geeft een totale hoogte van $b=6\cdot \text{hoogte}= 6\sin(\frac{1}{2}\alpha)$ .
De hele figuur is 10 van dit soort driehoekjes lang. Dat geeft een totale lengte van $l=10\cdot \text{lengte} = 10\cos(\frac{1}{2}\alpha)$ .

Opdracht 5: (4 punten)
Bereken exact de waarde van $b$ als $l=8$ .

Aanpak:

Uit $l=8$ kunnen we natuurlijk de waarde van $\cos(\frac{1}{2}\alpha)$ berekenen. De opgave is dan hoe we $\sin(\frac{1}{2}\alpha)$ exact kunnen berekenen uit deze waarde van $\cos(\frac{1}{2}\alpha)$ . Aangezien het exact moet, kunnen we immers niet de grootte van de hoek berekenen, omdat die niet mooi uitkomt.

De meest standaardmanier om dit te doen, is met behulp van de formule $\sin^2(A)+\cos^2(A)=1$ . Als we hier immers een waarde van $\cos(A)$ invullen, kunnen we daarmee de waarde van $\sin(A)$ berekenen. Een alternatief wat ik graag gebruik (maar leerlingen veel minder gebruiken), is om de hoek $\cos(A)$ in een rechthoekige driehoek te plaatsen. Met Pythagoras kun je dan de laatste zijde berekenen en daarmee ook de exacte waarde van zowel $\sin(A)$ als $\tan(A)$ berekenen. Zie de tweede oplossing hieronder.

Uitwerking met $\sin^2(A)+\cos^2(A)=1$ :

$l=8$ geeft $10\cos(\frac{1}{2}\alpha)=8$
$\cos(\frac{1}{2}\alpha)=\frac{4}{5}$
Bovenstaande uitspraak combineren met $\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)+\cos^2(\frac{1}{2}\alpha)=1$ geeft $\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)+(\frac{4}{5})^2=1$
$\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)+\frac{16}{25}=1$
$\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)=\frac{9}{25}$
$\sin(\frac{1}{2}\alpha)=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$ (want de breedte is groter dan nul)
$b=6\cdot \sin(\frac{1}{2}\alpha)=6\cdot \frac{3}{5}=3\frac{3}{5}$

Uitwerking met redenering in rechthoekige driehoek:

$l=8$ geeft $10\cos(\frac{1}{2}\alpha)=8$
$\cos(\frac{1}{2}\alpha)=\frac{4}{5}$
De hoek $\frac{1}{2}\alpha}$ zit dus ook in de onderstaande driehoek:

In deze driehoek geldt met Pythagoras dat $AC=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$ .
Dus $\sin(\frac{1}{2}\alpha)=\frac{3}{5}$
$b=6\cdot \sin(\frac{1}{2}\alpha)=6\cdot \frac{3}{5}=3\frac{3}{5}$

Als we $\alpha$ van $0$ tot $\pi$ laten toenemen, zal $b$ toenemen en $l$ afnemen.

Opdracht 6: (5 punten)
Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van $\alpha$ de breedte $b$ even snel toeneemt als de lengte $l$ afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen.

Aanpak:

In de vraag staat “met behulp van differentiëren”. Dit geeft aan dat je in ieder geval de afgeleide moet bepalen (zonder hulp van je GR). De eerste twee punten krijg je dan ook door $l'$ en $b'$ te berekenen.

Vervolgens staat er geen exact, algebraïsch of bewijs in de opgave. Zodra we een vergelijking hebben, mogen we dus wel onze rekenmachine gebruiken. De gevraagde vergelijking is in dit geval $b'=-l'$ . Immers, $b'$ geeft aan hoe snel $b$ toeneemt en we hebben $-l'$ voor hoe snel de snelheid afneemt (let op het minteken, want $l'$ geeft de snelheid waarmee $l$ toeneemt. Voor een afname is die dus negatief).

Uitwerking:

$l'=-10\sin(\frac{1}{2}\alpha)\cdot \frac{1}{2}=-5\sin(\frac{1}{2}\alpha)$
$b'=6\cos(\frac{1}{2}\alpha)\cdot \frac{1}{2}=3\cos(\frac{1}{2}\alpha)$ .
$b'=-l'$ geeft $3\cos(\frac{1}{2}\alpha)=5\sin(\frac{1}{2}\alpha)$
Voer in: $\begin{cases}Y_1=3\cos(\frac{1}{2}x)\\ Y_2=5\sin(\frac{1}{2}x)\end{cases}$
Optie intersect geeft $x=1{,}080\ldots$
Afgerond op twee decimalen is het antwoord dus $\alpha\approx 1{,}08$ .

Er geldt: $OQ=\sqrt{4+5\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)}$

Opdracht 7: (5 punten)
Toon aan dat de formule voor $OQ$ juist is.

Aanpak:

De afstand tussen twee punten bereken je altijd met Pythagoras. Hiervoor moeten we iets weten over het verschil tussen de $x$ -coördinaten van $O$ en $Q$ en tussen de $y$ -coördinaten van $O$ en $Q$ .

De bedoelde manier om achter deze $\Delta x$ en $\Delta y$ te komen, is door te kijken hoeveelste deel van $l$ en $b$ ze zijn. Zo zien we dat $Q$ helemaal boven zit en $O$ halverwege. Daarom geldt dat $\Delta y=\frac{1}{2}\cdot b$ . Met een soortgelijke redenering krijgen we dat $\Delta x=\frac{1}{2}\cdot l$ .

Met Pythagoras krijg je dan een uitdrukking van $OQ^2$ . Hier komt echter nog een $\cos^2$ in voor. Om deze naar een $\sin^2$ om te schrijven, gebruik je de rekenregel $\sin^2(A)+\cos^2(A)=1$ die je hiervoor eerst omschrijft naar $\cos^2(A)=1-\sin^2(A)$ .

Uitwerking met fractie van $l$ en $b$ :

$y_Q-y_O=\frac{1}{2} b = 3\sin(\frac{1}{2}\alpha)$
$x_Q-x_O=\frac{1}{5} l = 2\cos(\frac{1}{2}\alpha)$
Met Pythagoras krijgen we $OQ^2=(2\cos(\frac{1}{2}\alpha))^2+(3\sin(\frac{1}{2}\alpha))^2$
$OQ^2=4\cos^2(\frac{1}{2}\alpha)+9\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)$
Gebruiken van de formule $\cos^2(A)=1-\sin^2(A)$ geeft hier:
$OQ^2=4(1-\sin^2(\frac{1}{2}\alpha))+9\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)$
$OQ^2=4-4\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)+9\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)$
$OQ^2=4+5\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)$
$OQ=\sqrt{4+5\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)}$

Uitwerking met redenering zoals in opdracht 4:

Stel je de kleine driehoekjes voor die we in opdracht 4 gebruikten.
Dan is het van $O$ naar $Q$ twee van zulke horizontale stappen naar links en drie verticale stappen omhoog.
Ieder stapje naar links is $\cos(\frac{1}{2}\alpha)$ groot. We hebben dus $\Delta x = 2\cos(\frac{1}{2}\alpha)$ . Ieder stapje omhoog is $\sin(\frac{1}{2}\alpha)$ en we hebben dus $\Delta y=3\sin(\frac{1}{2}\alpha)$ .
Met Pythagoras krijgen we $OQ^2=(2\cos(\frac{1}{2}\alpha))^2+(3\sin(\frac{1}{2}\alpha))^2$
$OQ^2=4\cos^2(\frac{1}{2}\alpha)+9\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)$
Gebruiken van de formule $\cos^2(A)=1-\sin^2(A)$ geeft hier:
$OQ^2=4(1-\sin^2(\frac{1}{2}\alpha))+9\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)$
$OQ^2=4-4\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)+9\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)$
$OQ^2=4+5\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)$
$OQ=\sqrt{4+5\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)}$

Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt $O$ liggen.
Zie figuur 2.

Opdracht 8: (4 punten)
Bereken voor welke waarde van $\alpha$ dit het geval is. Rond je antwoord af op twee decimalen.

Aanpak:

We moeten oplossen wanneer zowel $Q$ en $P$ even ver van $O$ afliggen (want alleen dan liggen beide punten op dezelfde cirkel met middelpunt $O$ ). Dit leidt tot de vergelijking $OQ=OP$ .

Hiervoor moeten we eerst de afstand $OP$ uitdrukken in $\alpha$ . Aangezien $O$ precies in de midden van het figuur ligt is deze afstand gelijk aan de helft van de lengte $l$ . Daarmee heb je genoeg informatie om de vergelijking $OP=OQ$ op te stellen. Aangezien er geen exact, algebraïsch of bewijs in de opgave staat, mag je deze vergelijking verder met de GR oplossen. Let er hierbij op dat je $5\sin^2(\frac{1}{2}x)$ moet invoeren als $5(\sin(\frac{1}{2}x))^2$ .

Uitwerking:

$OP=\frac{1}{2}\cdot l = 5\cos(\frac{1}{2}\alpha)$
$OP=OQ$ geeft $5\cos(\frac{1}{2}\alpha)=\sqrt{4+5\sin^2(\frac{1}{2}\alpha)}$
Voer in: $\begin{cases}Y_1=5\cos(\frac{1}{2}x)\\ Y_2=\sqrt{4+5(\sin(\frac{1}{2}x))^2}\end{cases}$
Optie intersect geeft $x=1{,}982\ldots$
Afgerond op twee decimalen is het antwoord $\alpha \approx 1{,}98$ .

Pagina's: 1234567891011