Goniometrie (VWO 6 wis B) – Pagina 5

Cosinusgrafiek door hoogste punten

Voor elke $p$ met $0\leq p \leq 4$ wordt de functie $f_p$ met domein $0\leq x\leq \frac{1}{2}\pi$ gegeven door: $f_p(x)=-2\cos^2(x)+p\cdot \cos(x)-1$ .

In figuur 1 is voor enkele waarden van $p$ de grafiek van $f_p$ getekend.

De grafiek van $f_3$ heeft behalve de oorsprong een tweede gemeenschappelijk punt met de $x$ -as.

Opdracht 13: (4 punten)
Bereken exact de $x$ -coördinaat van dat tweede gemeenschappelijke punt.

Aanpak:

De snijpunten van $f$ met de $x$ -as krijgen we door $f(x)=0$ op te lossen. Hierbij krijgen we een vergelijking met zowel $\cos^2(x)$ als $\cos(x)$ . Deze kun je oplossen door er een kwadratische vergelijking van te maken met behulp van de substitutie $t=\cos(x)$ .

Uitwerking:

$f_3(x)=0$ geeft $-2\cos^2(x)+3\cdot \cos(x)-1=0$
Substitutie van $t=\cos(x)$ geeft $-2t^2+3t-1=0$
$D=3^2-4\cdot -2\cdot -1=1$
$t=\frac{-3-\sqrt{1}}{2\cdot -2}\vee t=\frac{-3+\sqrt{1}}{2\cdot -2}$
$t=1\vee t=\frac{1}{2}$
$\cos(x)=1\vee \cos(x)=\frac{1}{2}$
Op het domein $0\leq x\leq \frac{1}{2}\pi$ geeft dit $x=0$ en $x=\frac{1}{3}\pi$ .
Het gevraagde $x$ -coördinaat is $\frac{1}{3}\pi$ .

De grafiek van $f_p$ heeft voor $p=4$ een hoogste punt voor $x=0$ . Ook voor de andere waarden van $p$ heeft de grafiek van $f_p$ een hoogste punt. In figuur 2 is telkens met een dikke stip het hoogste punt van de grafiek van $f_p$ aangegeven. De gestippelde kromme verbindt deze hoogste punten met elkaar.

Voor de $x$ -coördinaat $a$ van het hoogste punt van de grafiek van $f_p$ geldt dat $\cos(a)=\frac{1}{4}p$ .

Opdracht 14: (4 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

Er wordt gevraagd om het het $x$ -coördinaat van de top te berekenen. Dit moet exact (want het woord bewijs wordt gebruikt) en we gebruiken daarom $f_p'(x)=0$ . Dat geeft een vergelijking waar in iedere term een $\sin(x)$ voorkomt. Meestal als een term vaker voorkomt in een vergelijking is het slim om die buiten haakjes te halen. Hier is dat ook zo, want we krijgen dan een vergelijking van de vorm $A\cdot B=0$ .

Dit verder uitwerken geeft ons de oplossingen $\sin(x)=0\vee \cos(x)=\frac{1}{4}p$ . We moeten dan nog kort beargumenteren waarom $\cos(x)=\frac{1}{4}p$ degene van de twee is die hoort bij het $x$ -coördinaat van het hoogste punt. Dit kun je bijvoorbeeld doen door te benoemen dat $\sin(x)=0$ op dit interval alleen gebeurt op $x=0$ en dat gegeven is dat dit voor $p\neq 4$ niet het hoogste punt is (en voor $p=4$ krijgen we dit punt ook met $\cos(x)=\frac{1}{4}p$ ).

Uitwerking:

$f_p(x)=-2(\cos(x))^2+p\cdot \cos(x)-1$
$f'_p(x)=-4\cos(x)\cdot -\sin(x)+p\cdot -\sin(x)$
$f'_p(x)=4\sin(x)\cos(x)-p\cdot\sin(x)$
$f'_p(x)=0$ geeft $\sin(x)(4\cos(x)-p)=0$
$\sin(x)=0\vee 4\cos(x)-p=0$
$\sin(x)=0\vee 4\cos(x)=p$
$\sin(x)=0\vee \cos(x)=\frac{1}{4}p$
$\sin(x)=0$ hoort op dit interval alleen bij $x=0$ . Bij het $x$ -coördinaat $a$ van de top hoort dus $\cos(a)=\frac{1}{4}p$ .

De kromme die de hoogste punten van de grafieken van $f_p$ verbindt, is de grafiek van de functie $g$ gegeven door $g(x)=\cos(2x)$ , met $0\leq x\leq \frac{1}{2}\pi$ .

Opdracht 15: (4 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

Bij deze vraag moet je voor iedere waarde van $p$ (tussen 0 en $\frac{1}{2}\pi$ ) laten zien dat de top op de grafiek van $g(x)=\cos(2x)$ ligt. Er zijn altijd leerlingen die het voor één of enkele waarden van $p$ aantonen, maar dat levert helaas geen punten op. Onthoud dat en zorg dat je bij dit soort vragen dus altijd in het algemeen (dus voor $f_p$ zonder een waarde van $p$ in te vullen) oplost.

Op de top gelden de volgende twee formules:

$f_p(x)=-2\cos^2(x)+p\cdot \cos(x)-1$
$\cos(x)=\frac{1}{4}p$ (die moest je bewijzen in de vorige opgave. Dat is ook een hint dat je die hier nodig hebt)

We willen deze vergelijkingen zo combineren dat we de letter $p$ kwijtraken. Er wordt immers gevraagd om een formule van de top te bewijzen waar de $p$ niet meer in voorkomt. De standaardmanier om dat voor elkaar te krijgen, is om in een van de vergelijkingen $p$ vrij te maken en die te substitueren in de andere vergelijking. In dit geval gaan we dus $\cos(x)=\frac{1}{4}p$ herschrijven naar $p=4\cos(x)$ en dit invullen in de formule van $f_p(x)$ .

Bij de laatste stap moet je het formuleblad nog even gebruiken om te zien dat de uitdrukking die je krijgt gelijk is aan $\cos(2x)$ .

Uitwerking:

Op het hoogste punt geldt zowel $\begin{cases}\cos(x)=\frac{1}{4}p\\ f_p(x)=-2\cos^2(x)+p\cdot \cos(x)-1\end{cases}$ .
$\left.\begin{matrix}p=4\cos(x)\\ y=-2\cos^2(x)+p\cdot \cos(x)-1\end{matrix}\right\} y=-2\cos^2(x)+4\cos(x)\cdot \cos(x)-1$
$y=-2\cos^2(x)+4\cos^2(x)-1$
$y=2\cos^2(x)-1$
Met het formuleblad krijgen we $y=\cos(2x)$ en de gevraagde formule klopt dus.

Pagina's: 1234567891011