Goniometrie (VWO 6 wis B) – Pagina 2

Maxima en minima

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=6\sin(x)-\cos(2x)$ .
De grafiek van $f$ heeft oneindig veel toppen.

Opdracht 8: (6 punten)
Bereken exact de $x$ -coördinaten van alle toppen van de grafiek van $f$ .

Aanpak:

We moeten exact de $x$ -coördinaten van de toppen berekenen. We weten dat toppen zijn bij $f'(x)=0$ .

Na correct differentiëren krijgen we $6\cos(x)+2\sin(2x)=0$ . Deze vergelijking kunnen we niet omschrijven naar $\cos(\ldots)=\cos(\ldots)$ , omdat de factoren 2 en 6 irritant zijn. Dit betekent dat we gebruik moeten maken van een speciale vorm (zoals $A\cdot B=0$ , $A\cdot B=A$ of $A\cdot B=A\cdot C$ ). Hiervoor is het nodig dat een bepaalde term in de vergelijking vaker voorkomt. In dit geval willen we daarom $\sin(2x)$ herschrijven, zodat we in die term ook een factor $\cos(x)$ krijgen. Dat kan met de omschrijfregel $\sin(2t)=2\sin(t)\cos(t)$ van het formuleblad. Vervolgens kunnen we $\cos(x)$ buiten haakjes halen om een vergelijking van de vorm $A\cdot B=0$ te krijgen.

Van de twee vergelijkingen die je dan krijgt, heeft er één geen oplossing, omdat een sinus alleen waarden tussen -1 en 1 kan aannemen.

Formuleblad:

Uitwerking:

$f'(x)=6\cos(x)+2\sin(2x)$
$6\cos(x)+2\sin(2x)=0$
$6\cos(x)+4\sin(x)\cos(x)=0$
$\cos(x)(6+4\sin(x))=0$
$\cos(x)=0\vee 6+4\sin(x)=0$
$x=\frac{1}{2}\pi + k\cdot \pi \vee 4\sin(x)=-6$
$x=\frac{1}{2}\pi + k\cdot \pi\vee \sin(x)=-1\frac{1}{2}$
$\sin(x)=-1\frac{1}{2}$ heeft geen oplossingen. De enige $x$ -coördinaten van toppen zijn dus $x=\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$

Een van de toppen is het punt $P(1\frac{1}{2}\pi,-5)$ .
De grafiek van $f$ is symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door $P$ .

Boven $P$ wordt een horizontaal lijnstuk van lengte 2 geplaatst, waarvan de eindpunten op de grafiek van $f$ liggen. Zie de figuur.

Opdracht 9: (4 punten)
Bereken de afstand van $P$ tot het horizontale lijnstuk. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.

Aanpak:

We zijn op zoek naar een verticale lengte. Die is gelijk aan het hoogste $y$ -coördinaat min het laagste $y$ -coördinaat. Het $y$ -coördinaat van het punt $P$ hebben we al en we moeten dus alleen nog het $y$ -coördinaat van het lijnstuk te weten komen.

Voor dit lijnstuk kunnen we gebruiken dat de grafiek symmetrisch is ten opzichte van de verticale lijn door $P$ . Dit betekent dat een even groot deel van het lijnstuk links van $P$ zit als rechts van $P$ . De lengte van het lijnstuk is 2 en de lengte van het lijnstuk links van $P$ is dus 1. Hiermee kunnen we het $x$ -coördinaat berekenen van het punt op de grafiek. Dit invullen in de functie geeft je ook het $y$ -coördinaat van dit punt en daarmee de lijn.

Uitwerking met symmetrie:

Het $x$ -coördinaat op het horizontale lijnstuk is $x=1\frac{1}{2}\pi -1$ (of $x=1\frac{1}{2}\pi +1$ ).
$f(1\frac{1}{2}\pi -1)=6\sin(1\frac{1}{2}\pi -1)-\cos(2(1\frac{1}{2}\pi -1))=-3{,}657\ldots$
$\text{verticale afstand}=-3{,}657\ldots - -5 = 1,342\ldots$
Afgerond op twee decimalen is de afstand tussen $P$ en het horizontale lijnstuk gelijk aan $1,34$ .

Uitwerking met lijnstuk heeft lengte 2:

Op het lijnstuk geldt $f(x)=f(x+2)$ .
Voer in $\begin{cases}Y_1=6\sin(x)-\cos(2x)\\Y_2=6\sin(x+2)-\cos(2(x+2))\end{cases}$ .
Optie intersect geeft $x=3{,}712\ldots$ met $y=-3{,}657\ldots$ .
$\text{verticale afstand}=-3{,}657\ldots - -5 = 1,342\ldots$
Afgerond op twee decimalen is de afstand tussen $P$ en het horizontale lijnstuk gelijk aan $1,34$ .

Pagina's: 1234567891011