Goniometrie (VWO 6 wis B) – Pagina 3

Op en neer

Twee leerlingen doen als volgt een onderzoek voor hun profielwerkstuk:

Een metalen blokje hangt aan een lange veer die is bevestigd aan een plafond op een hoogte van 350 cm. Het blokje wordt recht naar beneden getrokken en op $t=0$ losgelaten. Het blokje beweegt vervolgens op en neer. Zie figuur 1.

De afmetingen van het blokje en de wrijvingskracht worden verwaarloosd.

Zowel het blokje als de veer heeft een zwaartepunt. In deze opgave bekijken we eerst de zwaartepunten van het blokje en de veer apart.

De hoogte van het zwaartepunt van het blokje wordt benaderd door het volgende model: $Z_{\text{blokje}}(t)=150-100\cos(4t)$ . Hierbij is $Z_{\text{blokje}}$ de hoogte van het zwaartepunt van het blokje in cm en $t$ de tijd in seconden.

Het zwaartepunt van de veer bevindt zicht op elk moment in het midden van de veer.

Opdracht 11: (3 punten)
Laat met behulp van het gegeven model van het blokje en figuur 1 zien dat voor de hoogte van het zwaartepunt van de veer in cm geldt: de amplitude is 50 en de evenwichtsstand is 250.

Aanpak:

We moeten iets met zwaartepunt van de veer. In de vraag staat dat dit het midden van de veer is. Het is dus halverwege waar het blokje zich bevindt en het plafond aan de bovenkant. Dit bereken je met $\frac{1}{2}(y_{\text{blokje}}+y_{\text{plafond}})$ .

In de vraag staat gegeven dat $y_{\text{plafond}}=350$ . Voor $y_{\text{blokje}}$ moet je beseffen dat dit gewoon het zwaartepunt van het blokje is. Je kunt voor $y_{\text{blokje}}$ dus $Z_{\text{blokje}}(t)=150-100\cos(4t)$ invullen. Na haakjes uitwerken krijg je dan een formule voor $Z_{\text{veer}}$ . De evenwichtsstand en de amplitude hiervan zijn het antwoord op de vraag.

Uitwerking met formule zwaartepunt op ieder tijdstip:

$Z_{\text{veer}}=\frac{1}{2}(350+Z_{\text{blokje}})$
$Z_{\text{veer}}=\frac{1}{2}(350+150-100\cos(4t))$
$Z_{\text{veer}}=250-50\cos(4t))$
De evenwichtsstand is dus 250 en de amplitude is 50.

Uitwerking met hoogste en laagste waarde zwaartepunt:

Op het laagste punt is het blokje op hoogte $150-100\cdot 1=50$ .
Het zwaartepunt van de veer is dan op hoogte $\frac{1}{2}(50+350)=200$ .
Op het hoogste punt is het blokje op hoogte $150+100\cdot 1 = 250$ .
Het zwaartepunt van de veer is dan $\frac{1}{2}(250+350)=300$ .
De evenwichtsstand van het zwaartepunt van de veer is dus $\frac{1}{2}(200+300)=250$ .
De amplitude is $300-250=50$ .

Op het moment dat het blokje in het laagste punt wordt losgelaten, is zijn snelheid 0. Daarna neemt de snelheid toe tot de maximale snelheid, om vervolgens weer af te nemen, totdat in het hoogste punt de snelheid weer 0 is. In figuur 2 is de grafiek van de snelheid $v$ tijdens de opgaande beweging weergegeven.

Tijdens de opgaande beweging zijn er twee hoogtes waarop de snelheid van het blokje gelijk is aan 255 cm/seconde.

Opdracht 12: (3 punten)
Bereken deze twee hoogtes. Geef je eindantwoord in centimeters nauwkeurig.

Aanpak:

We hebben geleerd dat de snelheid de afgeleide van de positie van een deeltje is. Hier moet je je realiseren dat de positie van het deeltje gegeven wordt door de formule voor het zwaartepunt van het blokje: $Z_{\text{blokje}}(t)=150-100\cos(4t)$ .

In de opgave staat dat we de hoogtes moeten berekenen op de momenten dat het blokje een snelheid van 255 cm/seconde heeft. Dat kan in twee stappen:
* Bereken de tijdstippen dat de snelheid 255 cm/seconde is met $Z'_{\text{blokje}}(t)=255$ .
* Bereken de hoogtes die bij deze tijdstippen horen door deze tijdstippen in Z’_{\text{blokje}}(t) in te vullen.

Merk op dat je bovenstaande stappen in je GR mag doen, want er staat geen exact, algebraïsch of bewijs in de opgave. Voor het invoeren van $Z'_{\text{blokje}}(t)$ kun je de $\frac{\text{d}}{\text{dx}}$ -functie van je GR gebruiken. Die vind je op de CASIO onder OPTN -> CALC.

Uitwerking (met GR):

Voer in $\begin{cases}Y_1=\frac{\text{d}}{\text{dx}}(150-100\cos(4x))\\ Y_2=255\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=0{,}172\ldots \vee x=0{,}612\ldots$
$Z_{\text{blokje}}(0{,}172\ldots) = 150-100\cdot \cos(4\cdot 0{,}172\ldots)=72{,}9\ldots$
$Z_{\text{blokje}}(0{,}612\ldots) = 150-100\cdot \cos(4\cdot 0{,}612\ldots)=227{,}0\ldots$
Afgerond op hele centimeters zijn de hoogtes 73 en 227 cm.

Uitwerking (algebraïsch):

$v(t)=Z'_{\text{blokje}}(t)$
$v(t)=400\sin(4t)$
$400\sin(4t)=255$
$\sin(4t)=0{,}6375$
$4t=0{,}691\ldots \vee 4t=\pi-0{,}691\ldots$
$4t=0{,}691\ldots \vee 4t=2{,}450\ldots$
$t=0{,}172\ldots \vee t=0{,}612\ldots$
$Z_{\text{blokje}}(0{,}172\ldots) = 150-100\cdot \cos(4\cdot 0{,}172\ldots)=72{,}9\ldots$
$Z_{\text{blokje}}(0{,}612\ldots) = 150-100\cdot \cos(4\cdot 0{,}612\ldots)=227{,}0\ldots$
Afgerond op hele centimeters zijn de hoogtes 73 en 227 cm.

De hoogte van het zwaartepunt van de veer wordt benaderd door het volgende model: $Z_{\text{veer}}(t)=250-50\cos(4t)$ . Hierbij is $Z_{\text{veer}}$ de hoogte van het zwaartepunt van de veer in cm en $t$ de tijd in seconden.

Er kan ook gekeken worden naar het zwaartepunt van het blokje en de veer samen. De massa van de veer is 600 gram en de massa van het blokje is 1000 gram. $Z_\text{totaal}}$ is de hoogte van het zwaartepunt van het blokje en veer samen.

Opdracht 13: (3 punten)
Stel een formule op van $Z_{\text{totaal}}$ in de vorm $Z_{\text{totaal}}=a+b \cos(4t)$ . Licht je werkwijze toe.

Aanpak:

Als we het zwaartepunt van twee of meer massa’s willen nemen, gebruiken we de formule $Z=\frac{1}{\text{totale massa}}(m_1\cdot z_1 + m_2\cdot z_2 + \ldots)$ . Hierbij zijn $z_1$ en $z_2$ de zwaartepunten van de individuele massa’s. Voor deze opdracht moeten we deze formule invullen. De posities van de zwaartepunten zijn daarbij in dit geval dus formules. Deze moeten we ook als formule invullen, want we willen er ook een formule uitkrijgen die het zwaartepunt geeft op ieder tijdstip.

Uitwerking:

$Z_{\text{totaal}}=\frac{1}{1000+600}(1000\cdot Z_{\text{blokje}}}+600\cdot Z_{\text{veer}})$
$Z_{\text{totaal}}=\frac{1}{1600}(1000\cdot (150-100\cos(4t))+600\cdot (250-50\cos(4t)))$
$Z_{\text{totaal}}=\frac{1}{1600}(150000-100000\cos(4t)+150000-30000\cos(4t))$
$Z_{\text{totaal}}=\frac{1}{1600}(300000-130000\cos(4t))$
$Z_{\text{totaal}}=187{,}5-81{,}25\cos(4t))$

Pagina's: 1234567891011