Goniometrie (VWO 6 wis B) – Pagina 4

Sinus en cosinus getransformeerd

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=2\sin(x-\frac{1}{3}\pi)$ .
Het lijnstuk $AB$ verbindt de punten $A(12\pi, 1)$ en $B(16\pi, 1)$ .
De grafiek van $f$ snijdt dit lijnstuk in meerdere punten.

Opdracht 3: (4 punten)
Bereken exact de $x$ -coördinaten van deze snijpunten.

Aanpak:

We moeten de snijpunten van $f(x)=2\sin(x-\frac{1}{3}\pi)$ met $y=1$ berekenen op het interval $[12\pi, 16\pi]$ . Dat doen we natuurlijk met de vergelijking $2\sin(x-\frac{1}{3}\pi)=1$ .

Uitwerking:

$2\sin(x-\frac{1}{3}\pi)=1$
$\sin(x-\frac{1}{3}\pi)=\frac{1}{2}$
$x-\frac{1}{3}\pi= \frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi\vee x-\frac{1}{3}\pi= \frac{5}{6}\pi +k\cdot 2\pi$
$x= \frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi\vee x= 1\frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi$
Op het interval $[12\pi, 16\pi]$ geeft dit $x=12\frac{1}{2}\pi\vee x=13\frac{1}{6}\pi\vee x=14\frac{1}{2}\pi\vee x=15\frac{1}{6}\pi$

De functie $g$ wordt gegeven door $g(x)=2\cos(x-\frac{3}{4}\pi)+2$ .
Voor elke waarde van $a$ snijdt de verticale lijn met vergelijking $x=a$ de grafieken van $f$ en $g$ elk in één punt. Het midden van deze twee punten ligt voor sommige waarden van $a$ op de $x$ -as. Op het domein $[0, 2\pi]$ is dat voor twee waarden van $a$ het geval. Zie figuur 1.

Opdracht 4: (3 punten)
Bereken voor welke twee waarden van $a$ dit het geval is. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Aanpak:

Het midden van twee punten bereken je op dezelfde manier als je het gemiddelde van twee cijfers berekend. Namelijk met de formule $\text{midden}=\frac{1}{2}(\text{waarde 1} + \text{waarde 2})$ . In dit geval willen we het midden van $f(a)$ en $g(a)$ . Die krijgen we dus uit de formule $\text{midden}=\frac{1}{2}(f(a)+g(a))$ .

Zodra je deze hebt ingevuld, moet je $\text{midden}=0$ oplossen. Dit mag je doen met de GR (en kan zelfs niet exact!). Er staat namelijk geen exact, algebraïsch of bewijs in de opgave.

Uitwerking:

$\text{midden}=\frac{1}{2}(f(a)+g(a))$
$\text{midden}=\frac{1}{2}(2\sin(a-\frac{1}{3}\pi)+2\cos(a-\frac{3}{4}\pi)+2)$
Voer in: $Y_1=\frac{1}{2}(2\sin(x-\frac{1}{3}\pi)+2\cos(x-\frac{3}{4}\pi)+2)$
Optie root geeft $x=0{,}387\ldots\vee x=4{,}586\ldots$
Afgerond op twee decimalen zijn de antwoorden: $a\approx 0{,}39$ en $a\approx 4{,}59$ .

De functie $h$ wordt gegeven door $h(x)=f(x)+3\cdot g(x)$ . In figuur 2 zijn de grafieken van $f$ en $h$ weergegeven.

Je kunt de grafiek van $h$ laten ontstaan uit de grafiek van $f$ door middel van meerdere translaties en één vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$ -as. Neem aan dat dit een vermenigvuldiging is met factor $p$ . Daarbij geldt dat $p>0$ .

Opdracht 5: (4 punten)
Bereken deze waarde van $p$ . Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Aanpak:

Het inzicht wat je voor deze vraag nodig hebt, is dat de vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$ -as de enige transformatie is die de amplitude van de grafiek veranderd. Als we de amplitude van $h$ te weten kunnen komen, kunnen we dus $p$ berekenen met $p=\frac{\text{amplitude h}}{\text{amplitude f}}$ .

Om de amplitude van $h$ te weten te komen, gebruiken we de formule $\frac{\text{max}-\text{min}}{2}$ (of je kunt eerst de amplitude berekenen met $\frac{\text{max}+\text{min}}{2}$ en dan amplitude $=\text{max}-\text{evenwichtsstand}$ gebruiken). Hiervoor moeten we eerst weten wat de maximale en minimale waarde van $h$ zijn. Er staat geen exact, algebraïsch of bewijs in de opdracht. We mogen dit dus met de GR bepalen. Hiervoor vullen we dus $h(x)=f(x)+3\cdot g(x)$ in de GR in en gebruiken we optie maximum en optie minimum.

Uitwerking:

$h(x)=f(x)+3\cdot g(x)=2\sin(x-\frac{1}{3}\pi)+3(2\cos(x-\frac{3}{4}\pi)+2)$
Voer in $Y_1=2\sin(x-\frac{1}{3}\pi)+3(2\cos(x-\frac{3}{4}\pi)+2)$
Optie maximum geeft $x=2{,}421\ldots$ en $y=13{,}948\ldots$
Optie minimum geeft $x=5{,}562\ldots$ en $y=-1{,}948\ldots$
De evenwichtsstand is $y=\frac{-1{,}948\ldots+13{,}948\ldots}{2}=6$
De amplitude is $13{,}948\ldots-6=7{,}948\ldots$
De amplitude is $\frac{7{,}948\ldots}{2}=3{,}974\ldots$ keer zo groot geworden. Afgerond op twee decimalen geldt dus $p=3{,}97$ .

Pagina's: 1234567891011