Goniometrie (VWO 6 wis B) – Pagina 8

Klavertje drie

Het punt $P$ beweegt over een baan gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:

$\begin{cases}x_P(t)=4\cos(t)+\cos(4t)\\ y_P(t)=4\sin(t)+\sin(4t)\end{cases}$ met $t$ in seconden en $0\leq t\leq 2\pi$

De baan waarover punt $P$ beweegt, is weergegeven in de figuur.

Het punt $Q$ beweegt ook over deze baan. Punt $Q$ loopt $\pi$ seconden voor op punt $P$ . De bewegingsvergelijkingen van $Q$ zijn dus:

$\begin{cases}x_Q(t)=4\cos(t+\pi)+\cos(4(t+\pi))\\ y_Q(t)=4\sin(t+\pi)+\sin(4(t+\pi))\end{cases}$ met $t$ in seconden en $0\leq t\leq 2\pi$

Er zijn twee momenten waarop $P$ en $Q$ recht boven elkaar liggen, dus dan geldt $x_P=x_Q$ . In de figuur is zo’n situatie weergegeven.

Opdracht 9: (5 punten)
Bereken exact de afstand tussen $P$ en $Q$ in deze situaties.

Formuleblad:

Aanpak:

In de tekst is weggegeven dat we moeten starten met de vergelijking $x_P=x_Q$ op te lossen. Dat is een vergelijking die er vervelend uitziet, omdat er maar liefst vier cosinussen in voorkomen. Als je zo’n vergelijking ziet, weet je dus al dat een deel van deze cosinussen tegen elkaar moeten gaan wegvallen. Vaak kan dit met behulp van de regels op het formuleblad. In dit geval kunnen we die gebruiken op $\cos(t+\pi)$ en $\cos(4(t+\pi))$ die beide (na haakjes uitwerken) in de vorm $\cos(A+B)$ staan. Zo wordt $\cos(4(t+\pi))=\cos(4t+4\pi)=\cos(4t)\cos(4\pi)-\sin(4t)\sin(4\pi)=\cos(4t)\cdot 1-\sin(4t)\cdot 0=\cos(4t)$ (NB: Je kunt dit ook sneller met de eenheidscirkel beredeneren).

Zodra je op deze manier zowel $\cos(4(t+\pi))$ als $\cos(t+\pi)$ vereenvoudigd hebt, vallen er genoeg cosinussen weg dat je de vergelijking gemakkelijk kunt oplossen. Voor deze waarden van $t$ moet je dan de afstand berekenen. Dit is een verticale afstand. Je berekent de afstand dus door het grootste $y$ -coördinaat min het kleinste $y$ -coördinaat te doen.

Uitwerking met herleiden van $\cos(4t+4\pi)$ en $\cos(t+\pi)$ :

$x_P=x_Q$ geeft $4\cos(t)+\cos(4t)=4\cos(t+\pi)+\cos(4(t+\pi))$
$4\cos(t)+\cos(4t)=4\cos(t+\pi)+\cos(4t+4\pi)$
Substitueren van $4\cos(t+\pi)=-4\cos(t)$ en $\cos(4t+4\pi)=\cos(4t)$ in de bovenstaande vergelijking geeft $4\cos(t)+\cos(4t)=-4\cos(t)+\cos(4t)$ .
$8\cos(t)=0$
$\cos(t)=0$
$t=\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$
Op $0\leq t\leq 2\pi$ zijn de oplossingen $t=\frac{1}{2}\pi$ en $t=1\frac{1}{2}\pi$ .
$y_P(\frac{1}{2}\pi)=4\sin(\frac{1}{2}\pi)+\sin(4\cdot \frac{1}{2}\pi)=4+0=4$
$y_Q(\frac{1}{2}\pi)=4\sin(\frac{1}{2}\pi+\pi)+\sin(4(\frac{1}{2}\pi+\pi))=-4+0=-4$
De verticale afstand op $t=\frac{1}{2}\pi$ is $y_P-y_Q=4--4=8$ .
$y_P(1\frac{1}{2}\pi)=4\sin(1\frac{1}{2}\pi)+\sin(4\cdot 1\frac{1}{2}\pi)=-4+0=-4$
$y_Q(1\frac{1}{2}\pi)=4\sin(1\frac{1}{2}\pi+\pi)+\sin(4(1\frac{1}{2}\pi+\pi))=4+0=4$
De verticale afstand op $t=1\frac{1}{2}\pi$ is $y_Q-y_P=4--4=8$ .

Uitwerking met alleen herleiden van $\cos(4t+4\pi)$ :

$x_P=x_Q$ geeft $4\cos(t)+\cos(4t)=4\cos(t+\pi)+\cos(4(t+\pi))$
$4\cos(t)+\cos(4t)=4\cos(t+\pi)+\cos(4t+4\pi)$
Substitueren van $4\cos(t+\pi)=-4\cos(t)$ in de bovenstaande vergelijking geeft $4\cos(t)+\cos(4t)=4\cos(t+\pi)+\cos(4t)$ .
$4\cos(t)=4\cos(t+\pi)$
$\cos(t)=\cos(t+\pi)$
$t=t+\pi+k\cdot 2\pi\vee t=-t-\pi+k\cdot 2\pi$
De eerste vergelijking heeft geen oplossing. De tweede wordt $2t=-\pi+k\cdot 2\pi$
$t=-\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$
Op $0\leq t\leq 2\pi$ zijn de oplossingen $t=\frac{1}{2}\pi$ en $t=1\frac{1}{2}\pi$ .
$y_P(\frac{1}{2}\pi)=4\sin(\frac{1}{2}\pi)+\sin(4\cdot \frac{1}{2}\pi)=4+0=4$
$y_Q(\frac{1}{2}\pi)=4\sin(\frac{1}{2}\pi+\pi)+\sin(4(\frac{1}{2}\pi+\pi))=-4+0=-4$
De verticale afstand op $t=\frac{1}{2}\pi$ is $y_P-y_Q=4--4=8$ .
$y_P(1\frac{1}{2}\pi)=4\sin(1\frac{1}{2}\pi)+\sin(4\cdot 1\frac{1}{2}\pi)=-4+0=-4$
$y_Q(1\frac{1}{2}\pi)=4\sin(1\frac{1}{2}\pi+\pi)+\sin(4(1\frac{1}{2}\pi+\pi))=4+0=4$
De verticale afstand op $t=1\frac{1}{2}\pi$ is $y_Q-y_P=4--4=8$ .

Op tijdstip $t=\frac{2}{3}\pi$ bevindt het punt $P$ zich in $(-2\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2}\sqrt{3})$ .

Opdracht 10: (6 punten)
Bereken exact de scherpe hoek in graden tussen de raaklijn aan de baan in punt $P$ en de $x$ -as.

Aanpak:

We hebben geleerd dat we de richting van de raaklijn van een kromme kunnen bepalen met behulp van de snelheidsvector. We berekenen dus eerst deze snelheidsvector voor $t=\frac{2}{3}\pi$ . Vervolgens kun je op twee manieren de gevraagde hoek bepalen:

Mogelijkheid 1:
De eerste manier (die ik meestal gebruik) is om de snelheidsvector $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ om te zetten in de richtingscoëfficiënt $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{d}{c}$ . Vervolgens kun je de hellingshoek bepalen met de geleerde formule $\tan(\text{hellingshoek})=a$ .
Mogelijkheid 2:
De tweede manier is om een vector te kiezen op de $x$ -as, zoals $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ en dan te gebruiken dat de hoek $\alpha$ tussen twee vectoren $\overrightarrow{a}$ en $\overrightarrow{b}$ berekenend kan worden met $\cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|}$ .

Bij beide mogelijkheden moet je op het einde opletten dat er exact in de vraag staat en dat je officieel dus met de eenheidscirkel de waarde van de hoek moet bepalen. Je GR geeft als die in graden staat de juiste hoek echter gewoon exact en je kan die dus stiekem wel degelijk gebruiken.

Uitwerking met hellingshoek:

$\overrightarrow{s(t)}=\begin{pmatrix}4\cos(t)+\cos(4t)\\ 4\sin(t)+\sin(4t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v(t)}=\begin{pmatrix}-4\sin(t)-4\sin(4t)\\ 4\cos(t)+4\cos(4t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v(\frac{2}{3}\pi)}=\begin{pmatrix}-4\sin(\frac{2}{3}\pi)-4\sin(\frac{8}{3}\pi)\\ 4\cos(\frac{2}{3}\pi)+4\cos(\frac{8}{3}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\ -2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\end{pmatrix}$
Voor de richtingscoëfficiënt $a$ van de raaklijn geldt $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-4}{-4\sqrt{3}}$
$a=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
Voor de hellingshoek $\phi$ geldt dus $\tan(\phi)=\frac{1}{3}\sqrt{3}$ .
Uit de eenheidscirkel (of valsspelend met de GR zonder dit te zeggen) halen we dat $\phi = 30^{\circ}$ .

Uitwerking met richtingsvectoren:

$\overrightarrow{s(t)}=\begin{pmatrix}4\cos(t)+\cos(4t)\\ 4\sin(t)+\sin(4t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v(t)}=\begin{pmatrix}-4\sin(t)-4\sin(4t)\\ 4\cos(t)+4\cos(4t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v(\frac{2}{3}\pi)}=\begin{pmatrix}-4\sin(\frac{2}{3}\pi)-4\sin(\frac{8}{3}\pi)\\ 4\cos(\frac{2}{3}\pi)+4\cos(\frac{8}{3}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\ -2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\end{pmatrix}$
Een richtingsvector van de $x$ -as[/latex] is $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ .
Voor de (al dan niet scherpe) hoek $\phi$ tussen de de raaklijn en de $x$ -as geldt $\cos(\phi)=\frac{\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right|}$
$\cos(\phi)=\frac{-4\sqrt{3}\cdot 1-4\cdot 0}{\sqrt{(-4\sqrt{3})^2+(-4)^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2}}=\frac{-4\sqrt{3}}{8}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Uit de eenheidscirkel (of valsspelend met de GR zonder dit te zeggen) halen we dat $\phi = 150^{\circ}$ .
De scherpe hoek tussen de raaklijn en de $x$ -as is dus $180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$ .

Pagina's: 1234567891011