Goniometrie (VWO 6 wis B) – Pagina 7

Cirkels

Gegeven zijn de cirkels $c_1$ en $c_2$ . Cirkel $c_1$ heeft straal $\frac{1}{2}$ en middelpunt $O$ . Het middelpunt van cirkel $c_2$ ligt op de positieve $y$ -as. Cirkel $c_1$ ligt binnen cirkel $c_2$ . Deze twee cirkels raken elkaar in het punt $R(0,-\frac{1}{2})$ .
Zie de figuur.

Er zijn twee bewegende punten, $P$ en $Q$ . Punt $P$ draait rond over cirkel $c_1$ , punt $Q$ draait rond over cirkel $c_2$ . In de figuur zijn de posities van $P$ en $Q$ op een bepaald tijdstip weergegeven. Verder is gegeven:

Op $t=0$ bevinden de punten $P$ en $Q$ zich in $R$ .
Beide punten bewegen tegen de wijzers van de klok in.
Beide punten bewegen met contstante snelheid.
De snelheid van $P$ is gelijk aan de snelheid van $Q$ .
Op $t=12$ bevindt punt $Q$ zich, sinds $t=0$ , voor het eerst weer in $R$ .
Op $t=12$ heeft punt $P$ precies vier maal $c_1$ doorlopen.

De $y$ -coördinaat van punt $Q$ wordt gegeven door een formule van de vorm:

$y_Q=k+l\cdot \sin(m(t-n))$

Opdracht 10: (6 punten)
Bereken waarden van $k$ , $l$ , $m$ en $n$ waarvoor deze formule in overeenstemming is met de gegevens.

Aanpak:

We hebben geleerd dat we de waarden van $k$ , $l$ , $m$ en $n$ als volgt berekenen:

Evenwichtsstand: $k=\frac{\text{minimale y}+\text{maximale y}}{2}$
Amplitude: $l=\text{maximale y} - \text{evenwichtsstand}$
$m=\frac{2\pi}{\text{periode}}$
$n$ is een waarde van $t$ waar die stijgend door de evenwichtsstand gaat.

De waarde van $m$ is direct te berekenen, want we hebben de periode van de beweging van $Q$ gegeven (die is 12). Verder zien we dat $Q$ op $t=0$ op zijn laagste punt is. Na een kwart van de periode is $Q$ dus op de evenwichtsstand. Hiermee kunnen we $n$ berekenen.

Dan blijven de waarden van de evenwichtsstand en de amplitude nog over. Hiervoor moeten we dus weten wat de minimale en maximale $y$ zijn die $Q$ kan aannemen. De minimale waarde zit natuurlijk bij punt $R$ waarvan we de coördinaten kunnen berekenen met behulp van cirkel $c_1$ . Voor de maximale $y$ -coördinaat op de cirkel kun je de formule $\text{maximale y} = \text{minimale y} + \text{straal}$ gebruiken. Hiervoor moet je natuurlijk eerst weten wat de straal van $c_2$ is. Die kun je beredeneren uit het feit dat een rondje van $Q$ vier keer zo lang duurt als een rondje van $P$ , terwijl ze evensnel bewegen. Dit vertelt dat de omtrek van $c_2$ ook vier keer zo groot moet zijn als de omtrek van $c_1$ en daarmee ook de straal vier keer zo groot moet zijn.

Uit de minimale en maximale waarde haal je dan met de formules voor $k$ en $l$ de evenwichtsstand en amplitude. Je krijgt hier niet toevalligerwijs uit dat $k$ het $y$ -coördinaat van het middelpunt is en $l$ de straal van $c_2$ (waarom zal dit zo zijn?). Als je dit direct beredeneert, kun je de antwoorden nog sneller opschrijven. Dat is de alternatieve oplossing.

Uitwerking met formule evenwichtsstand en amplitude:

$m=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{12}=\frac{1}{6}\pi$
Na een kwart periode gaat $Q$ stijgend door de evenwichtsstand. Dat is bij $t=3$ . Dus $n=3$ .
Vier rondjes van $P$ komt overeen met één rondje van $Q$ . Daarom is de omtrek van $c_2$ vier keer zo groot als de omtrek van $c_1$ .
De straal van $c_2$ is daarom ook vier keer zo groot als de straal van $c_1$ . De straal van $c_2$ is dus $r_2=4\cdot \frac{1}{2}=2$ .
$y_R=0-r_1=-\frac{1}{2}$
De maximale $y$ -waarde die $Q$ kan aannemen, is $-\frac{1}{2}+2\cdot r_2 = -\frac{1}{2}+2\cdot 2=3\frac{1}{2}$ .
$k=\frac{-\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}}{2}=1\frac{1}{2}$
$l= 3\frac{1}{2}-1\frac{1}{2}=2$
Conclusie: $k=1\frac{1}{2}$ , $l=2$ , $m=\frac{1}{6}\pi$ en $n=3$ .

Uitwerking met inzicht wat $k$ en $l$ moet zijn:

$m=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{12}=\frac{1}{6}\pi$
Na een kwart periode gaat $Q$ stijgend door de evenwichtsstand. Dat is bij $t=3$ . Dus $n=3$ .
Vier rondjes van $P$ komt overeen met één rondje van $Q$ . Daarom is de omtrek van $c_2$ vier keer zo groot als de omtrek van $c_1$ .
De straal van $c_2$ is daarom ook vier keer zo groot als de straal van $c_1$ . De straal van $c_2$ is dus $r_2=4\cdot \frac{1}{2}=2$ . Dit geeft $l=2$ .
$y_R=0-r_1=-\frac{1}{2}$
De $y$ -coördinaat van middelpunt van $c_2$ is $-\frac{1}{2}+2=1\frac{1}{2}$ . Dus $k=1\frac{1}{2}$ .
Conclusie: $k=1\frac{1}{2}$ , $l=2$ , $m=\frac{1}{6}\pi$ en $n=3$ .

Pagina's: 1234567891011