Goniometrie (VWO 6 wis B) – Pagina 6

Wortel en sinus

De functies $f$ en $g$ worden gegeven door $f(x)=\sqrt{x}$ en $g(x)=\sqrt{x+\sin(x)}$ . In figuur 1 zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven.

De oorsprong $O$ is een gemeenschappelijk punt van de twee grafieken. Verder snijden de grafieken elkaar achtereenvolgens in de punten $S_1, S_2, S_3, \ldots$ .

In figuur 2 is een deel van figuur 1 rondom snijpunt $S_2$ vergroot weergegeven. In deze figuur zijn de raaklijnen in $S_2$ aan de grafiek van $f$ en de grafiek van $g$ gestippeld weergegeven.

De helling van de grafiek van $f$ in $S_2$ is gelijk aan $\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}$ . De helling van de grafiek van $g$ in $S_2$ is $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ , dus twee keer zo groot.

Als $n$ een even getal is, geldt:
In de snijpunten $S_n$ is de helling van de grafiek van $g$ twee keer zo groot als de helling van de grafiek van $f$ .

Opdracht 13: (7 punten)
Bewijs deze eigenschap.

Aanpak:

Als we de vraag goed lezen, zien we drie dingen die moeten gebeuren:

We moeten de snijpunten $S_n$ bepalen. De oplossingen zijn $n\cdot \pi$ (dus $\pi$ , $2\pi$ , $3\pi$ , $4\pi$ , $5\pi$ , $6\pi$ , etcetera). We zijn echter alleen geïnteresseerd in de even snijpunten. Die zijn dus $2\pi$ , $4\pi$ , $6\pi$ , etcetera. Voor deze oplossingen geldt dus $k\cdot 2\pi$ .
We moeten $f(x)$ en $g(x)$ differentiëren. Dit zien we uit het feit dat we hellingen van $f$ en $g$ moeten vergelijken.
Tot slot moeten we onderzoeken of de helling van $f$ twee keer zo groot is als de helling van $g$ op de snijpunten die we in stap 1 berekend hebben. Hiervoor vullen we de gevonden $x$ -waarden in de afgeleiden in.

Bij het invullen van stap 3 moeten we ook $\sin(k\cdot 2\pi)$ en $\cos(k\cdot 2\pi)$ berekenen. Hierbij moet je de observatie doen dat ongeacht wat de waarde van $k$ is we altijd op het beginpunt zijn en dat dus $\sin(x)=0$ en $\cos(x)=1$ geldt.

Uitwerking:

$f(x)=g(x)$ geeft $\sqrt{x}=\sqrt{x+\sin(x)}$
Kwadrateren geeft $x=x+\sin(x)$
$\sin(x)=0$
$x=n\cdot \pi$
Bij $S_n$ hoort $x=n\cdot \pi$ . Als $n=2k$ even is, geldt dus voor $S_{2k}$ dat $x=2k\cdot \pi = k\cdot 2\pi$ .
$f(x)=x^{\frac{1}{2}$ geeft $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f'(k\cdot 2\pi)=\frac{1}{2\sqrt{k\cdot 2\pi}}$
$g(x)=(x+\sin(x))^{\frac{1}{2}$ geeft $g'(x)=\frac{1}{2}(x+\sin(x))^{-\frac{1}{2}} \cdot (1+\cos(x))$
$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sin(x)}} \cdot (1+\cos(x))$
$g'(k\cdot 2\pi)=\frac{1}{2\sqrt{1+k\cdot 2\pi+\sin(k\cdot 2\pi)}}\cdot (1+\cos(k\cdot 2\pi)$ .
Aangezien $\sin(k\cdot 2\pi)}=0$ en $\cos(k\cdot 2\pi)}=1$ hebben we $g'(k\cdot 2\pi)=\frac{1}{2\sqrt{k\cdot 2\pi}}\cdot (1+1)$
We zien nu dat $g'(k\cdot 2\pi)=\frac{1}{2\sqrt{k\cdot 2\pi}}\cdot 2 = f'(k\cdot 2\pi)\cdot 2$ .
Conclusie: de helling van de grafiek van $g$ is inderdaad twee keer zo groot als de helling van de grafiek van $f$ bij $S_{2k}$ .

Pagina's: 1234567891011