Goniometrie (VWO 6 wis B) – Pagina 10

Twee sinusoïden

De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door:

$f(x)=\frac{1}{2}\sin(2x-\frac{2}{3}\pi)-\frac{1}{4}\sqrt{3}$ en
$g(x)=\sin(x-\frac{2}{3}\pi)$

In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven op het interval $[0,\frac{2}{3}\pi]$ . Verder is de lijn getekend met vergelijking $x=p$ , met $0<p<\frac{2}{3}\pi$ . Deze lijn snijdt de grafiek van $f$ in punt $A$ en de grafiek van $g$ in punt $B$ .

De lengte van lijnstuk $AB$ is afhankelijk van $p$ . Voor een bepaalde waarde van $p$ is deze lengte maximaal.

Opdracht 7: (7 punten)
Bereken exact voor welke waarde van $p$ de lengte van lijnstuk $AB$ maximaal is.

Aanpak:

De truc bij dit soort opdrachten is om eerst alles in het plaatje maar eens uit te drukken in de parameter $p$ . Zo zijn de coördinaten van het punt $A$ gelijk aan $(p,f(p))$ oftewel $(p, \frac{1}{2}\sin(2p-\frac{2}{3}\pi)-\frac{1}{4}\sqrt{3})$ . Op dezelfde manier zijn de coördinaten van $B$ gelijk aan $(p,g(p))$ . We kunnen nu toepassen dat een verticale afstand gelijk is aan het bovenste $y$ -coördinaat min het onderste $y$ -coördinaat. Die wordt dus $\text{afstand}=f(p)-g(p)$ .

Zodra we de formule van de afstand hebben, kunnen we berekenen waar het maximum optreedt door de afgeleide van de afstand gelijk te stellen aan nul. Hierbij krijgen we een vergelijking van de vorm $\cos(A)=\cos(B)$ . We hebben daarbij geleerd dat de oplossingen hiervan $A=B+k\cdot 2\pi\vee A=-B+k\cdot 2\pi$ zijn. Hierbij moet je er op letten dat je $B$ tussen haakjes moet substitueren bij de tweede oplossing (want de hele $B$ moet negatief genomen worden).

Uitwerking:

$AB=f(p)-g(p)=\frac{1}{2}\sin(2p-\frac{2}{3}\pi)-\frac{1}{4}\sqrt{3}-\sin(p-\frac{2}{3}\pi)$
$AB'=\frac{1}{2}\cos(2p-\frac{2}{3}\pi)\cdot 2-\cos(p-\frac{2}{3}\pi)$
$AB'=\cos(2p-\frac{2}{3}\pi)-\cos(p-\frac{2}{3}\pi)$
$AB'=0$ geeft $\cos(2p-\frac{2}{3}\pi)-\cos(p-\frac{2}{3}\pi)=0$
$\cos(2p-\frac{2}{3}\pi)=\cos(p-\frac{2}{3}\pi)$
$2p-\frac{2}{3}\pi=p-\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2p-\frac{2}{3}\pi=-(p-\frac{2}{3}\pi)+k\cdot 2\pi$
$2p-\frac{2}{3}\pi=p-\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2p-\frac{2}{3}\pi=-p+\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi$
$p=k\cdot 2\pi \vee 3p=\frac{4}{3}\pi+k\cdot 2\pi$
$p=k\cdot 2\pi \vee p=\frac{4}{9}\pi+k\cdot \frac{2}{3}\pi$
Aangezien we kijken op het interval $0<p<\frac{2}{3}\pi$ is het antwoord $p=\frac{4}{9}\pi$ .

Pagina's: 1234567891011