Veelhoeken (VWO 6 wis B) – Pagina 6

Vierkanten

In figuur 1 zie je in een assenstelsel een vierkant $ABCD$ met zijde 1. Hoekpunt $A$ ligt op de positieve $x$ -as en hoekpunt $D$ op de positieve $y$ -as. Vierkant $EFGH$ heeft ook zijde 1. Dit vierkant ligt naast $ABCD$ zo dat zijde $EF$ op de $x$ -as ligt en hoekpunt $B$ van vierkant $ABCD$ op zijde $EH$ ligt. Om vierkant $ABCD$ is een derde vierkant $OETS$ getekend met horizontale en verticale zijden.

Voor de hoek $\alpha$ (in rad) die zijde $AB$ met de $x$ -as maakt, geldt: $0<\alpha < \frac{1}{2}\pi$ .
In figuur 1 is aangegeven welke hoeken gelijk zijn aan $\alpha$ .

De coördinaten van $C$ en $G$ hangen als volgt van $\alpha$ af:
$C(\cos(\alpha), \sin(\alpha)+\cos(\alpha))$ en $G(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)+1, 1)$ .

Opdracht 5: (4 punten)
Bereken exact de oppervlakte van vierkant $OETS$ voor $\alpha=\frac{1}{6}\pi$ . Schrijf je antwoord zonder haakjes.

De lijn door $G$ en $C$ snijdt de $y$ -as in $P$ . De loodrechte projectie van $G$ op de $y$ -as noemen we $Q$ en de loodrechte projectie van $C$ op de lijn $GC$ noemen we $R$ . Zie figuur 2.

Er geldt $OP=1+\frac{(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)-1)(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)+1)}{\sin(\alpha)+1}$ .

Opdracht 6: (5 punten)
Toon aan dat deze formule juist is.

De lengte van $OP$ kan ook geschreven worden als $OP=1+\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(\alpha)+1}$ .

Opdracht 7: (4 punten)
Toon dit op algebraïsche wijze aan.

De hoogte van punt $C$ is maximaal als $\alpha=\frac{1}{4}\pi$ . Maar de hoogte van punt $P$ is maximaal voor een andere waarde van $\alpha$ tussen 0 en $\frac{1}{2}\pi$ .

Opdracht 8: (6 punten)
Bereken met behulp van differentiëren bij welke waarde van $\alpha$ de hoogte van punt $P$ maximaal is. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Pagina's: 1234567891011